1、1如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABBC，D为AC的中点，AA1AB2，BC3.(1)求证：AB1平面BC1D；(2)求AB1与BD所成角的余弦值2(2019广东省化州模拟)如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是正方形，PD平面ABCD，且PDAD4，点E为线段PA的中点(1)求证：PC平面BDE；(2)求三棱锥EBCD的体积3.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ABDC，E，F分别为PC，DC的中点，PADC2AB2AD2.(1)证明：平面PAD平面EBF；(2)求三棱锥PBED的体积4(2020河北衡水模拟)如图，四棱锥PABCD中
2、，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)在PC上求一点G，使FG平面AEC，并证明你的结论答案精析1(1)证明如图，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD.四边形BCC1B1是平行四边形点O为B1C的中点D为AC的中点，OD为AB1C的中位线，ODAB1，OD平面BC1D，AB1平面BC1D，AB1平面BC1D.(2)解由(1)可知，ODB为AB1与BD所成的角或其补角，在RtABC中，D为AC的中点，则BD，同理可得，OB，且ODAB1，在OBD中，cosODB，AB1与BD所成角的余弦值为.2.(1)证明连接AC交BD于O，连接EO.
3、四边形ABCD是正方形，在PAC中，O为AC中点，又E为PA的中点，EOPC.又PC平面BDE，EO平面BDE.PC平面BDE.(2)解取AD的中点F，连接EF.则EFPD且EFPD2.PD平面ABCD，EF平面ABCD，EF就是三棱锥EBCD的高在正方形ABCD中，SBCD428.V三棱锥EBCDSBCDEF82.3.(1)证明由已知F为CD的中点，且CD2AB，所以DFAB，因为ABCD，所以ABDF，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BFAD，又因为BF平面APD，AD平面APD，所以BF平面PAD.在PDC中，因为E，F分别为PC，CD的中点，所以EFPD，因为EF平面APD，PD平
4、面APD，所以EF平面APD，因为EFBFF，EF，BF平面BEF，所以平面APD平面BEF.(2)解由已知E为PC的中点，VPBDC2VEBDC又因为VPBDEVPBDCVEBDC，所以VPBDEVPBDC，因为SBDC121，VPBDCSBDCAP12，所以VPBDE.4(1)证明如图，连接BD，设BD与AC的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又因为E为PD的中点，所以EOPB，因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)解PC的中点G，即为所求的点证明如下：如图，连接GE，FG，因为E为PD的中点，G为PC的中点，所以GECD且GECD，因为F为AB的中点，且四边形ABCD为矩形，所以FACD且FACD，则FAGE且FAGE，所以四边形AFGE为平行四边形，FGAE，因为FG平面AEC，AE平面AEC，所以FG平面AEC.
