1、第三章函数的概念与性质第四章指数函数与对数函数(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2021北京一零一中学高一上期末)已知函数f(x)=lg(4-x)的定义域为M,函数g(x)=x-4的定义域为N,则MN=()A.MB.NC.4D.2.(2021四川眉山高一上期末)已知函数f(x)=log3(-x),x0,f(x-5),x0,则f(2)=()A.-1B.1C.0D.23.(2021重庆缙云教育联盟高一上期末)函数f(x)=log12(-x2-2x+3)的单调递减区间为()A.(-,
2、-1B.(-3,-1C.-1,1)D.-1,+)4.(2021江苏扬州高一上期末)若方程x3-12x=0的解在区间k,k+1(kZ)内,则k的值是()A.-1B.0C.1D.25.(2021天津六校高一上期末)设a=log0.50.6,b=log0.61.2,c=1.20.6,则a,b,c的大小关系为()A.abcB.bacC.bcaD.cb0,-x2-2x,x0,若实数m(0,1),则函数g(x)=f(x)-m的零点个数为()A.0B.1C.2D.38.(2021湖北第五届高考测评高一上期末)若定义在R上的函数y=f(x-1)的图象关于图象上的点(1,0)对称,f(x)对任意的实数x都有f(
3、x+4)=-f(x),且f(3)=0,则函数y=f(x)在区间0,2 019上的零点最少有()A.2 020个B.1 768个C.1 515个D.1 514个二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2021山东泰安高一上期末)函数f(x)=2x+a2x(aR)的图象可能为()10.(2021山东菏泽高一上期末)某同学在研究函数f(x)=x1-|x|时,给出下面几个结论,其中正确的有()A. f(x)的图象关于点(0,0)对称B.若x1x2,则f(x1)f(x2)C.函数g(x)=f(
4、x)+x有三个零点D. f(x)的值域为R11.(2021山东烟台高一上期末)已知函数f(x)=logax+loga(a-x)(a0,且a1),则()A. f(x)的定义域为(0,a)B. f(x)的最大值为2-2loga2C.若f(x)在(0,2)上单调递增,则1a4D. f(x)的图象关于直线x=a2对称12.(2021山东济宁高一上期末)已知实数x1,x2(x1x2)为函数f(x)=12x-|log2(x-1)|的两个零点,则下列结论正确的是()A.(x1-2)(x2-2)(-,0) B.(x1-1)(x2-1)(0,1)C.(x1-1)(x2-1)=1 D.(x1-1)(x2-1)(1
5、,+)三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2021湖南永州高一上期末)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,2),则f(4)=.14.(2021江苏南京高一上期末)已知函数f(x)=2x+1,xm,其中m0.若f(x)在区间(0,+)上单调递增,则m的取值范围是;若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的实根,则m的取值范围是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2021河北唐山高一上期末)计算下列各式的值:(1)1412+38-8114;(2)2log32-log336+log25log54.18.(1
6、2分)(2021福建厦门高一上期末)已知函数f(x)=x2+bx+c,且g(x)=f(x)+2x为偶函数,从条件、条件、条件中选择一个作为已知条件,求f(x)的解析式.条件:函数f(x)在区间-2,2上的最大值为5;条件:函数f(x)0的解集为1;条件:方程f(x)=0有两根x1,x2,且x12+x22=10.19.(12分)(2021海南高一上期末)已知二次函数f(x)=x2+(3t+1)x+3t-1.(1)若f(x)是偶函数,求t的值;(2)若函数f(x)在区间(-2,-1)和(0,1)上各有一个零点,求t的取值范围.20.(12分)(2021黑龙江大庆实验中学高一上期末)设函数f(x)=
7、a-22x+1.(1)用定义证明f(x)为增函数;(2)若f(x)为奇函数,求实数a的值,并求出f(x)的值域.21.(12分)(2021江苏苏州高一上期末)经多次试验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)、百公里耗油量W(单位:L)与速度v(单位:km/h)(40v120)的部分数据关系如下表:v406090100120Q5.268.3251015.6W139.25为描述Q与v的关系,现有以下三种模型供选择:Q(v)=0.5v+a,Q(v)=av+b,Q(v)=av3+bv2+cv.(1)请填写表格空白处的数据,选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;(2)已知某高速公
8、路共有三条车道,分别是外侧车道、中间车道和内侧车道,车速范围分别是60,90),90,110),110,120(单位:km/h),问:该型号汽车应在哪条车道以什么速度行驶时W最小?22.(12分)(2021广东广州越秀高一上期末)已知函数f(x)=logax(a0,且a1).(1)若0x11,且A(t,f(t),B(t+2,f(t+2),C(t+4,f(t+4)(t2)三点在函数y=f(x)的图象上,记ABC的面积为S,求S=g(t)的表达式,并求g(t)的值域.答案全解全析1.D根据题意得,M=x|x4,N=x|x4,MN=.故选D.2.Bf(x)=log3(-x),x0,解得-3x1,函数
9、f(x)=log12(-x2-2x+3)的定义域为(-3,1),令t=-x2-2x+3,则g(t)=log12t为单调递减函数,由复合函数的单调性可知, f(x)的单调递减区间为t=-x2-2x+3在(-3,1)上的单调递增区间.t=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,其图象开口向下,对称轴为直线x=-1,t=-x2-2x+3在(-3,1)上的单调递增区间为(-3,-1.故选B.4.B设f(x)=x3-12x,则f(0)=0-1=-10,由函数零点存在定理知, f(x)在区间(0,1)内一定有零点,即方程x3-12x=0在区间(0,1)上有解,所以k的值是0,故选B.5.B0a=log0.5
10、0.6log0.50.5=1,b=log0.61.21,所以a,b,c的大小关系为ba0,-x2-2x,x0的图象,如图所示:函数g(x)=f(x)-m的零点个数即函数f(x)的图象与直线y=m,m(0,1)的交点个数,所以函数g(x)有3个零点.故选D.8.C因为函数y=f(x-1)的图象关于图象上的点(1,0)对称,所以y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,故f(x)为奇函数.又f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=f(x+4)+4=-f(x+4)=f(x).因为f(0)=0, f(3)=0, f(-3)=-f(3)=0,所以f(-3+4)=-f(-3)=0,即f(1)=0, f(
11、4)=-f(0)=0, f(5)=f(1+4)=-f(1)=0, f(7)=f(3+4)=-f(3)=0, f(8)=f(0)=0,故在0,8)上,0,1,3,4,5,7为函数f(x)的零点,又2 019=2528+3, f(2 016)=f(0)=0,f(2 017)=f(1)=0, f(2 019)=f(3)=0,故函数在区间0,2 019上的零点最少有2526+3=1 515个,故选C.9.ABD当a=0时, f(x)=2x,A中图象满足;当a=1时, f(x)=2x+12x, f(0)=2,且f(-x)=f(x),定义域为R,关于原点对称,所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,
12、B中图象满足;当a=-1时, f(x)=2x-12x, f(0)=0,且f(-x)=-f(x),定义域为R,关于原点对称,所以函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,D中图象满足;C中图象过点(0,1),此时a=0,故C中图象不满足.故选ABD.10.ACD画出函数f(x)=x1-|x|的图象,如图所示:对于A:根据函数的图象可知,函数的图象关于原点对称,故A正确;对于B:根据函数的图象知,存在x1x2,f(x1)=f(x2),故B错误;对于C:令g(x)=0,画出函数y=-x的图象(图略),易知函数y=f(x)的图象与y=-x的图象有三个交点,故函数g(x)=f(x)+x有三个零点,故C正
13、确;对于D:根据函数的图象知函数的值域为R,故D正确.故选ACD.11.AD对于选项A,令x0且a-x0,解得0xa,故函数f(x)的定义域为(0,a),故选项A正确;对于选项B, f(x)=logax+loga(a-x)=loga(a-x)x=loga(-x2+ax),因为y=-x2+ax的图象开口向下,故y有最大值,但若0a1,函数y=logax单调递减,此时f(x)无最大值,故选项B错误;对于选项C,若f(x)在(0,2)上单调递增,则当0a1时,则y=-x2+ax在(0,2)上单调递增,故a22,解得a4,故选项C错误;对于选项D, f(x)=logax+loga(a-x), f(a-
14、x)=loga(a-x)+logax=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=a2对称,故选项D正确.故选AD.12.AB令f(x)=0,则12x=|log2(x-1)|,在同一直角坐标系中作出函数y=12x与y=|log2(x-1)|的图象,如图所示:由图可得1x12x2,所以(x1-2)(x2-2)(-,0),故A正确;由于log2(x1-1)(x2-1)=log2(x1-1)+log2(x2-1)=-12x1+12x20,所以0(x1-1)(x2-1)1,故B正确,C、D错误.故选AB.13.答案2解析设幂函数y=f(x)=x,R,其图象过点(2,2),2=2,解得=12,f(x)=x1
15、2,f(4)=412=2.14.答案4解析由f(x)=2x+1,x0时,函数f(x)=|x|,xm,x2-2mx+4m,xm的大致图象如图:要使f(x)在区间(0,+)上单调递增,则m4m-m2,解得0m3,又m0,0m3,则m的取值范围是(0,3;要使关于x的方程f(x)=b有三个不同的实根,则4m-m23m,解得m3,则m的取值范围是(3,+).17.解析(1)原式=12+2-3=-12.(5分)(2)原式=log34-log336+log24(7分)=log319+2=-2+2=0.(10分)18.解析函数f(x)=x2+bx+c,则g(x)=f(x)+2x=x2+(b+2)x+c,(2
16、分)因为g(x)为偶函数,所以g(-x)=g(x),即(-x)2-(b+2)x+c=x2+(b+2)x+c,可得b=-2,(4分)所以f(x)=x2-2x+c,其图象开口向上,对称轴为直线x=1.(6分)若选条件,函数f(x)在区间-2,2上的最大值为5, 则f(-2)=4+4+c=5,解得c=-3,(10分)所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.(12分)若选条件,函数f(x)0的解集为1,则f(1)=0,即1-2+c=0,解得c=1,(10分)所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+1.(12分)若选条件,方程f(x)=0有两根x1,x2,且x12+x22=10,则由根与系数
17、的关系可得x1+x2=2,x1x2=c,(8分)又(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2,(10分)所以4=10+2c,解得c=-3,所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.(12分)19.解析(1)f(x)是偶函数,f(-x)=f(x),(-x)2-(3t+1)x+3t-1=x2+(3t+1)x+3t-1,(3分)即2(3t+1)x=0对xR恒成立,t=-13.(6分)(2)函数f(x)在区间(-2,-1)和(0,1)上各有一个零点,所以f(-2)0,f(-1)0,f(0)0,(9分)即4-2(3t+1)+3t-10,1-(3t+1)+3t-10,3t-10,解得-16t13,
18、故t的取值范围为-16,13.(12分)20.解析(1)证明:由题意知,xR,任取x1,x2R,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1),(2分)x1x2,2x1-2x20,(4分)f(x1)-f(x2)0,即f(x1)1,022x+12,-2-22x+10,-1f(x)2,所以x1x2+x2x121.(4分)当a1时,K0, fx1+x22 f(x1)+f(x2)2;当0a1时,K0, fx1+x22 f(x1)+f(x2)2.(6分)(2)分别过A、B、C作x轴的垂线交x轴于M、N、P,则S=g(t)=S梯形AMNB+S梯形BNPC-S梯形AMPC=12f(t)+f(t+2)2+12f(t+2)+f(t+4)2-12f(t)+f(t+4)4(8分)=2loga(t+2)-logat-loga(t+4)=loga(t+2)2t(t+4)=loga1+4t(t+4)(t2),(10分)当t2时,t(t+4)12,+),所以4t(t+4)0,13,所以1+4t(t+4)1,43,所以loga1+4t(t+4)0,loga43,故g(t)的值域为0,loga43.(12分)