1、第二讲三角恒等变换 1.改编题下列说法错误的是()A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角,是任意的B.存在实数,使等式sin(+)=sin +sin 成立C.公式tan(+)=tan+tan1 - tantan可以变形为tan +tan =tan(+)(1 - tan tan ),且对任意角,都成立D.存在实数,使tan 2=2tan 2.2015 新课标全国,2,5分sin 20cos 10 - cos 160sin 10=()A. - 32B.32C. - 12D.123.2018全国卷,4,5分文若sin =13,则cos 2=()A.89B.79C. - 79D. - 894.2019全
2、国卷,11,5分文已知(0,2),2sin 2=cos 2+1,则sin =()A.15B.55C.33D.2555.2020百校联考tan 67.5 - tan 22.5=.6.2018全国卷,15,5分已知sin +cos =1,cos +sin =0,则sin(+)=.7.2018全国卷,15,5分文已知tan( - 54)=15,则tan =.8.2019江苏,13,5分已知tantan(+4)= - 23,则sin(2+4)的值是.考法1 三角函数式的化简求值1化简:2cos2 - 12tan(4 - )sin2(4+)=.思路一运用二倍角公式及诱导公式化简即可思路二运用两角和(差)
3、的正弦(切)公式切化弦化简即可解法一原式=cos22tan(4 - )cos2(4 - )=cos22sin(4 - )cos(4 - )=cos2sin(2 - 2)=cos2cos2=1.解法二原式=cos2 - sin221 - tan1+tan(sin 4cos+cos 4sin)2=(cos2 - sin2)(1+tan)(1 - tan)(cos+sin)2=(cos2 - sin2)(1+sincos)(1 - sincos)(cos+sin)2=1. 解法一运用了“同化原则”,先根据角(4 - )与角(4+)互余的关系,将sin(4+)化成cos(4 - ),能减少角,再采用切
4、化弦法,减少函数名,最后分母逆用二倍角公式,与分子化成同次,很容易得出结果;而解法二是直接运用公式,运算量大,且易出错.1.已知(0,),化简:(1+sin+cos)(cos2 - sin2)2+2cos=.考法2 三角函数的求值命题角度1给角求值2(1)2019湖南四校联考计算sin 133cos 197+cos 47cos 73的结果为A.12 B. - 12 C.22 D.32(2)2019安徽黄山三检(1+tan 20)(1+tan 25)=.(1)利用诱导公式、两角和的余弦公式求解.(2)观察式子中所涉及的角之间的关系,即20+25=45,借助tan 45=tan(20+25)=1,
5、利用两角和的正切公式及其变形求解即可;也可利用同角三角函数的基本关系及辅助角公式进行求解.(1)sin 133cos 197+cos 47cos 73= - sin 47cos 17+cos 47cos 73= - sin 47sin 73+cos 47cos 73=cos(47+73)=cos 120= - 12.故选B.(2) 解法一(配凑法)由题意知,(1+tan 20)(1+tan 25)=1+tan 20+tan 25+tan 20tan 25.因为tan 45=tan(20+25)=tan20+tan251 - tan20tan25=1,(借助两角和的正切公式进行配凑)所以tan
6、20+tan 25=1 - tan 20tan 25.所以(1+tan 20)(1+tan 25)=1+tan 20+tan 25+tan 20tan 25=2.解法二(切化弦)原式=(1+sin20cos20)(1+sin25cos25)=(cos20+sin20)(cos25+sin25)cos20cos25=2cos252cos20cos20cos25=2. 注意特殊角的应用,当式子中出现12,1,32,3等数时,要考虑引入特殊角,通过“值变角”构造适合公式的形式.2.(tan 10 - 3)cos10sin50=.命题角度2给值求值3 (1)已知为锐角,为第二象限角,且cos( - )
7、=12,sin(+)=12,则sin(3 - )=A. - 12B.12C. - 32D.32(2)2019山东临沂模拟已知sin +cos =233,则sin2( - 4)=.(1)根据已知角与所求角之间的关系,可以从两个角度求解:一是3 - =2+( - ),需先利用2=(+)+( - )及为锐角求出2的值,进而求得结果;二是3 - =2( - )+(+),需先利用倍角公式求出cos 2( - )和sin 2( - )的值,进而求得结果.(2)根据所求目标式,将已知式化为一角一函数的形式,然后利用同角三角函数的基本关系求值即可;或将已知式两边同时平方,求出sin 2的值,再利用降幂公式求解
8、即可.(1)解法一因为为锐角,为第二象限角,cos( - )0,sin(+)0,所以 - 为第四象限角,+为第二象限角,(符号定象限)因此sin( - )= - 32,cos(+)= - 32,所以sin 2=sin( - +)= - 32( - 32)+1212=1.因为为锐角,所以2=2,所以sin(3 - )=sin(2+ - )=cos( - )=12,故选B.(变换角求值)解法二同解法一可得,sin( - )= - 32,cos(+)= - 32.所以cos 2( - )=2cos2( - ) - 1=2(12)2 - 1= - 12,sin 2( - )=2sin( - )cos(
9、 - )=2( - 32)12= - 32.所以sin(3 - )=sin2( - )+(+)=sin 2( - )cos(+)+cos 2( - )sin(+)=( - 32)( - 32)+( - 12)12=12.故选B.(变换角求值)(2)解法一由已知可得sin +cos =2(22sin +22cos )=2cos( - 4)=233,(逆用两角差的余弦公式)所以cos( - 4)=2332=63.故sin2( - 4)=1 - cos2( - 4)=1 - (63)2=13.解法二将sin +cos =233两边同时平方,得sin2+2sin cos +cos2=43,即sin 2
10、=13.所以sin2( - 4)=1 - cos(2 - 2)2=1 - sin22=1 - 132=13.3.(1)若(0,),且3sin +2cos =2,则tan 2=()A.32B.34C.233D.433(2)已知cos(4+x)=35,若1712x74,则sin2x+2sin2x1 - tanx的值为.4.2018江苏,16,14分已知,为锐角,tan =43,cos(+)= - 55.(1)求cos 2的值;(2)求tan( - )的值.命题角度3给值求角4在平面直角坐标系xOy中,锐角,的顶点为坐标原点O,始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆O的交点分别为P,Q.已知点P的横坐标
11、为277,点Q的纵坐标为3314.则2 - 的值为.先根据三角函数的定义和已知求出cos ,sin ,然后利用同角三角函数的基本关系求出sin ,cos ,再确定2 - 的取值范围,求出2 - 的三角函数值,从而确定2 - 的值.解法一由已知可知cos =277,sin =3314.(利用三角函数的定义求值)又,为锐角,所以sin =217,cos =1314.(利用同角三角函数的基本关系求值,注意判断符号)因此cos 2=2cos2 - 1=17,sin 2=2sin cos =437,(利用倍角公式求值)所以sin(2 - )= 4371314-173314=32. 因为为锐角,所以020
12、,所以022,又为锐角,所以 - 22 - 0,故 - (0,2),(判断两角差的取值范围)故cos( - )=1 - sin2( - )=1 - (2114)2=5714,(利用同角三角函数的基本关系求值,注意判断符号)所以cos(2 - )=cos+( - )=cos cos( - ) - sin sin( - )=2775714-2172114=12.又(0,2),所以2 - =+( - )(0,),所以2 - =3.解后反思利用三角函数值求角时,要尽量把角的取值范围转化到某个函数的单调区间内,这样就不会产生多解.如解法一中,因为2 - ( - 2,2),显然正弦函数在该区间内单调递增,
13、所以一个正弦值只对应一个角.若求该角的余弦值,则一个余弦值对应两个角,容易产生多解.解法二中,2 - (0,),余弦函数在该区间内单调递减,所以一个余弦值只对应一个角.此外,在求解过程中还需要利用三角函数的符号不断缩小角的范围,如解法一中利用cos 2的符号,得2(0,2);解法二中利用sin( - )的符号,得 - (0,2).5.(1)2019山西吕梁模拟已知(0,2),(0,2),tan =cos21 - sin2,则()A.+=2 B. - =4C.+=4 D.+2=2(2)2019黑龙江大庆二模已知,为锐角,且(1 - 3tan )(1 - 3tan )=4,则+=.易错 不会缩小角
14、的范围而致误52019安徽六安二模若sin 2=55,sin( - )=1010,且4,32,则+的值是A.74B.94C.54或74 D.54或94找出已知角与所求角之间的关系:+=2+( - )求出角2,+, - 的范围利用两角和的余弦公式得出cos(+)的值根据特殊角的三角函数值得出角+的值因为4,所以22,2,又sin 2=55,所以2(2,),(4,2).所以cos 2= - 1 - sin22= - 255.(根据sin 20缩小角2,的范围)因为,32,所以+(54,2), - (2,54).又sin( - )=10100,所以 - (2,),(根据sin( - )0缩小角 -
15、的范围)所以cos( - )= - 1 - sin2( - )= - 31010.所以cos(+)=cos2+( - )=cos 2cos( - ) - sin 2sin( - )(利用两角和的余弦公式化简)= - 255( - 31010) - 551010=22.又+(54,2),所以+=74.A易错警示本题的易错点是不能根据题设条件缩小角2,及 - 的取值范围,导致求cos(+)时出现两解而造成失误.利用三角函数值求角时,要充分结合条件,对角的范围精准定位后,再选取合适的三角函数进行求值,最后确定角的具体取值.2831.C对于C,只有当,+都不等于k+2(kZ)时,公式才成立,故C错误,
16、选C.2.D原式=sin 20cos 10+cos 20sin 10=sin(20+10)=12.故选D.3.Bcos 2=1 - 2sin2=1 - 2(13)2=79.故选B.4.B因为2sin 2=cos 2+1,所以4sin cos =2cos2.因为(0,2),所以cos 0,sin 0,所以2sin =cos ,所以4sin2=cos2.又sin2+cos2=1,所以sin2+4sin2=1,即5sin2=1,即sin2=15.又sin 0,所以sin =55.故选B.5.2由tan - tan =tan( - )(1+tan tan )得tan 67.5 - tan 22.5=t
17、an 45(1+tan 67.5tan 22.5)=12=2.6. - 12sin +cos =1,cos +sin =0,sin2+cos2+2sin cos =1,cos2+sin2+2cos sin =0,两式相加可得sin2+cos2+sin2+cos2+2(sin cos +cos sin )=1,sin(+)= - 12.7.32解法一因为tan( - 54)=15,所以tan - tan541+tantan54=15,即tan - 11+tan=15,解得tan =32.解法二因为tan( - 54)=15,所以tan =tan( - 54)+54=tan( - 54)+tan5
18、41 - tan( - 54)tan54=15+11 - 151=32.8.210解法一 tantan+11 - tan=tan(1 - tan)tan+1= - 23,解得tan =2或tan = - 13.当tan =2时,sin 2=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=45,cos 2=cos2 - sin2sin2+cos2=1 - tan2tan2+1= - 35,此时sin 2+cos 2=15.同理当tan = - 13时,sin 2= - 35,cos 2=45,此时sin 2+cos 2=15.所以sin(2+4)=22(sin 2+cos 2)=210.
19、解法二tantan(+4)=sincos(+4)cossin(+4)= - 23,则sin cos(+4)= - 23cos sin(+4),又22=sin(+4) - =sin(+4)cos - cos(+4)sin =53sin(+4)cos ,则sin(+4)cos =3210,则sin(2+4)=sin(+4)+=sin(+4)cos +cos(+4)sin =13sin(+4)cos =133210=210.1.cos 原式=(2cos22+2sin2cos2)(cos2 - sin2)4cos22.因为(0,),所以cos20,所以原式=(2cos22+2sin2cos2)(cos
20、2 - sin2)2cos2=(cos2+sin2)(cos2 - sin2)=cos22 - sin22=cos .2. - 2解法一原式=(tan 10 - tan 60)cos10sin50=(sin10cos10 - sin60cos60)cos10sin50=sin( - 50)cos10cos60cos10sin50= - 2.解法二原式=(sin10cos10 - 3)cos10sin50=sin10 - 3cos10cos10cos10sin50=2(12sin10 - 32cos10)sin50=2sin(10 - 60)sin50= - 2.【审题指导】注意到10,50与特
21、殊角60的关系:10+50=60.同时3=tan 60,考虑利用特殊值化切为弦.也可直接将tan 10化为sin10cos10,然后通分变为sin10 - 3cos10cos10,再考虑用引入辅助角的方法求解.3.(1)A解法一由已知得cos =1 - 32sin .代入sin2+cos2=1,得sin2+(1 - 32sin )2=1,整理得74sin2 - 3sin =0,解得sin =0或sin =437.因为(0,),所以sin =437,故cos =1 - 32437=17.所以tan 2=sin1+cos=4371+17=32.解法二因为sin =2sin 2cos 2 ,cos
22、=1 - 2sin22,所以3sin +2cos =2可以化为2 3sin 2cos 2+2(1 - 2sin22)=2,化简可得23sin 2cos 2=4sin22.因为(0,),所以2(0,2),所以sin 20.所以式可化为23cos 2=4sin 2,即tan 2=32.(2) - 2875解法一由1712x74,得53x+40,所以 - 2( - 2,2).又cos( - 2)=sin( - 2)+2,且 - 2+2(0,),(0,2),所以 - 2+2=或 - 2+2= - .当 - 2+2=时,=4,此时1 - sin 2=0,已知等式无意义,不符合题意,舍去;当 - 2+2=
23、 - 时, - =4.故选B.解法二tan =cos21 - sin2=cos2 - sin2cos2+sin2 - 2sincos= (cos+sin)(cos - sin)(cos - sin)2=cos+sincos - sin=1+tan1 - tan=tan(4+).因为(0,2),(0,2),所以=4+,即 - =4.故选B.解法三不妨令=12,则由已知等式可求得tan =321 - 12=3,又为锐角,所以=3.则+=3+12=512,故可排除A,C.当 0时,sin 2 0,cos 2 1,所以tan =cos21 - sin21,因为(0,2),所以 4,所以+2 4,故可排除D.综上可知,选B.【解题策略】证明关系式抓两个统一、两个关系(1)统一角:即根据已知和所证,统一角的表示,从角的关系找准思路.(2)统一函数:即统一函数名称,一般是切化弦,从而可得到所证.(3)抓关系:即准确把握已知和所求的关系,已知之间的关系,明确化简的依据与方向.(2)23将(1 - 3tan )(1 - 3tan )=4展开,得 - 3(tan +tan )=3(1 - tan tan ),即tan+tan1 - tantan=tan(+)= - 3,由于,为锐角,所以0+,故+=23.
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