1、2020-2021学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每题5分，满分60分）.1下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（）A频率就是概率B频率是客观存在的，与试验次数无关C概率是随机的，在试验前不能确定D随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率2复数的虚部是（）ABCD3已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）2xf（e）+lnx（e为自然对数的底数），则f（e）等于（）ABeCDe4某班有8名优秀学生，其中男生有5人，女生有3人现从中选3人参加一次答辩比赛，要求选出的3人中，既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A45种B56种C90
2、种D120种5执行如图程序后输出的结果是（）A1B0C1D26为了调查学生的课外阅读情况，小王从高一年级两个班中的92人中抽取30人了解情况，若用系统抽样的方法，则抽样的间隔和随机剔除的个数分别为（）A3，2B2，3C2，30D30，27在抛掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件AC（C是B的对立事件）发生的概率为（）ABCD8如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点N在AC上，点M在A1D上，且A1M，MN面AA1B1B，则MN的长为（）ABC2D9河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身
3、上的图案，与自己的观察画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北：二七同道，为火居南：三八为朋，为木居东：四九为友，为金居西：五十同途，为土居中现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（）ABCD10函数f（x）的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）Af（3）f（2）f（3）f（2）Bf（2）f（3）f（2）f（3）Cf（2）f（3）f（3）f（2）Df（3）f（2）f（2）f（3）11甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去，则两人能会面的概率是（）ABCD12已知函数，曲
4、线yf（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）使曲线yf（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1x2的取值范围是（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13的展开式中的中间一项是 14甲、乙两名篮球运动员在几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和为 15已知复数z（t1）+（t+1）i（i为虚数单位，tR），则|z|的最小值为 16已知函数f（x）若x2x1且f（x1）f（x2），则x1x2的最大值是 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17已知函数f（x）x3+bx+c在x2处取得极值10（1）求b
5、，c的值；（2）求函数f（x）的单调区间18某市居民用水拟实行阶梯水价每人月用水量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费，超出立方米的部分按10元/立方米收费从该市随机调查了10000名居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图（1）如果为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，至少定为多少？（2）假如同组中的每一个数据用该组区间的右端点值替代当3时，估计该市居民该月的人均水费为多少？19设函数f（x）（1）若f（x）在（2，+）上存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）当0a2时，f（x）在区间1，4上的最大值为，求f（x）在该区间上的最小
6、值20某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善据统计，该校2014年到2020年所招的学生高考成绩不低于600分的人数y与对应年份代号x的数据如表：年份2014201520162017201820192020年份代号x1234567不低于600分的人数y（单位：人）29333644485259（1）若y关于x具有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2021年该校所招的学生高考成绩不低于600分的人数；（2）今有A、B、C、D四位同学报考该校，已知A、B、C被录取的概率均为，D被录取的概率为，且每位同学是否被录取相互不受影响，用X表示此4人中被录取的人数，求X的分布列与数
7、学期望参考公式：，参考数据：，21如图，已知在四棱锥PABCD中，O为AB中点，平面POC平面ABCD，ADBC，ABBC，PAPBBCAB2，AD3（1）求证：平面PAB面ABCD；（2）求二面角OPDC的余弦值22已知函数f（x）（x2）ex+a（aR）（1）试确定函数f（x）的零点个数；（2）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，证明：x1+x22参考答案一、选择题（共12小题，每题5分，满分60分）.1下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（）A频率就是概率B频率是客观存在的，与试验次数无关C概率是随机的，在试验前不能确定D随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率解：事件
8、A的频率是指事件A发生的频数与n次事件中事件A出现的次数比，一般来说，随机事件A在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间0，1中的某个常数上，这个常数就是事件A的概率随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率故选：D2复数的虚部是（）ABCD解：，复数的虚部是故选：B3已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）2xf（e）+lnx（e为自然对数的底数），则f（e）等于（）ABeCDe解：根据题意，f（x）2xf（e）+lnx，其导数f（x）2f（e）+，令xe，可得f（e）2f（e）+，变形可得f（e），故选：C4某
9、班有8名优秀学生，其中男生有5人，女生有3人现从中选3人参加一次答辩比赛，要求选出的3人中，既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A45种B56种C90种D120种解：根据题意，分2种情况讨论：选出的3人中有2男1女，有30种选法，选出的3人中有1男2女，有15种选法，则有30+1545种选法；故选：A5执行如图程序后输出的结果是（）A1B0C1D2解：模拟程序语言的运行过程，如下：n5，s0满足条件s14，执行循环体，s5，n4满足条件s14，执行循环体，s9，n3满足条件s14，执行循环体，s12，n2满足条件s14，执行循环体，s14，n1此时，不满足条件s14，退出循环，输出n的值为1
10、故选：C6为了调查学生的课外阅读情况，小王从高一年级两个班中的92人中抽取30人了解情况，若用系统抽样的方法，则抽样的间隔和随机剔除的个数分别为（）A3，2B2，3C2，30D30，2解：因为9230不是整数，所以必须先剔除部分个体，即剔除2个个体即可，然后将90个数据分为30组，故抽样的间隔为2故选：A7在抛掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件AC（C是B的对立事件）发生的概率为（）ABCD解：由题意，事件C表示“向上的面大于等于4的点出现”，即C4，5，6，A2，4，故AC2，4，5，6，故事件AC发生
11、的概率为，故选：D8如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点N在AC上，点M在A1D上，且A1M，MN面AA1B1B，则MN的长为（）ABC2D解：如图，在A1AD中，作MEAD，交AA1于点E，在ABC中，作NFBC，交AB于点F，连接EF，正方体的棱长为2，ACA1D2，A1M，由，可得，可得A1E1，可得AEEM1，MN面AA1B1B，面MNEF面AA1B1BEF，MNEF，又EMADFN，四边形EMNF是平行四边形，可得NFEM1，由，可得，可得AF1，EF，MNEF故选：A9河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察画出的“八卦”，而龙马身上的图
12、案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北：二七同道，为火居南：三八为朋，为木居东：四九为友，为金居西：五十同途，为土居中现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（）ABCD解：现从这十个数中随机抽取4个数，基本事件总数n，能成为两组包含的基本事件个数m，则能成为两组的概率是p故选：C10函数f（x）的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）Af（3）f（2）f（3）f（2）Bf（2）f（3）f（2）f（3）Cf（2）f（3）f（3）f（2）Df（3）f（2）f（2）f（3）解：由图可得，0f（2）f（3）设A（2，f（2），B（3，f（3），则f（3）f（
13、2），即为直线AB的斜率由图可知，直线AB的斜率大于f（2）小于f（3），即f（2）f（3）f（2）f（3）故选：B11甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去，则两人能会面的概率是（）ABCD解：设甲、乙从6时起分别经过x分钟和y分钟到达会面地点，则，若两人能够会面，则需，在如图所示的直角坐标系下，（x，y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示：由几何概型的概率公式得：P（A），所以，两人能会面的概率是，故选：D12已知函数，曲线yf（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）
14、使曲线yf（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1x2的取值范围是（）ABCD解：由题意，可得f（x1）f（x2）（x1，x20，且x1x2），即，化简得：，即，解得，当且仅当x1x2时取等号，则对k（0，+）恒成立记g（k），k（0，+），g（k），令g（k）0，得k1，且当k1，g（k）0，则g（k）单调递增，k1，g（k）0，则g（k）单调递减，故当k1时，g（k）取最大值为g（1），故，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13的展开式中的中间一项是 20解：由于的展开式共有7项，故中的中间一项是第四项，即 T4（3）3x020，故答案为：2014甲、乙两名篮球运动
15、员在几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和为 52解：由已知中的茎叶图可得：甲、乙两人这几场比赛得分的中位数分别为：24和28，甲、乙两人这几场比赛得分的中位数的和为：24+2852故答案是：5215已知复数z（t1）+（t+1）i（i为虚数单位，tR），则|z|的最小值为 解：z（t1）+（t+1）i，当t20时，|z|取得最小值故答案为：16已知函数f（x）若x2x1且f（x1）f（x2），则x1x2的最大值是3ln38解：令lnx2，解得xe2；令lnx0，解得x1如图：结合函数图象可知若要满足f（x1）f（x2），且x2x1，则，且.，解得x13ln
16、x25则x1x23lnx2x2，令g（x）3lnxx5，x1，e2），则，令g（x）0，解得x3，故g（x）在区间（1，3）上单调递增，在区间（3，e2）上单调递减，则g（x）在x3时取最大值g（3）3ln38，即x1x2的最大值为3ln38故答案为：3ln38三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17已知函数f（x）x3+bx+c在x2处取得极值10（1）求b，c的值；（2）求函数f（x）的单调区间解：（1）由题知f（x）3x2+b，f（2）0，即3（2）2+b0b12又f（2）10，即（2）3+（2）12+c10c6（2）由（1）知f（x）x3+12x+6f（x）3
17、x2+123（x+2）（x2）令f（x）0，可得2x2；令f（x）0，可得x2或x2，f（x）在（，2），（2，+）上单调递减，在（2，2）上单调递增18某市居民用水拟实行阶梯水价每人月用水量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费，超出立方米的部分按10元/立方米收费从该市随机调查了10000名居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图（1）如果为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，至少定为多少？（2）假如同组中的每一个数据用该组区间的右端点值替代当3时，估计该市居民该月的人均水费为多少？解：（1）由用水量的频率直方图可知：该市居民该月用
18、水量在区间0.5，1，（1，1.5，（1.5，2，（2，2.5，（2.5，3内的频率依次是0，05，0.1，0.15，0.25，0.3，该月用水量不超过3立方米的居民占：0.05+0.1+0.15+0.25+0.385%而用水量不超过2立方米的居民占：0.05+0.1+0.1530%是正数，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，就定为3（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号12345678分组2，4（4，6（6，8（8，10（10，12（12，17（17，22（22，27频率0.050.10.150.250.30.050.050.05根
19、据题意，该市居民该月的人均水费估价为：40.05+60.1+80.15+100.25+120.3+170.05+220.05+270.0511.4（元）答：该市居民该月的人均水费为11.4（元）19设函数f（x）（1）若f（x）在（2，+）上存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）当0a2时，f（x）在区间1，4上的最大值为，求f（x）在该区间上的最小值【解答】解：（1）f（x）x2x2a若f（x）在（2，+）上有单调递减区间，则f（x）x2x2a0在（2，+）上有解即2ax2x在（2，+）上有解令，易知g（x）g（2）2，2a2，a1，即a（1，+）（2）令f（x）0得两根，f（x）在（，x
20、1），（x2，+）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减当0a2时，x11x24，f（x）在1，4上的最小值为f（x2），又即f（4）f（1）f（x）在1，4上的最大值为则，a1则f（x）在1，4上最小值为20某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善据统计，该校2014年到2020年所招的学生高考成绩不低于600分的人数y与对应年份代号x的数据如表：年份2014201520162017201820192020年份代号x1234567不低于600分的人数y（单位：人）29333644485259（1）若y关于x具有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2021年该校所招的学
21、生高考成绩不低于600分的人数；（2）今有A、B、C、D四位同学报考该校，已知A、B、C被录取的概率均为，D被录取的概率为，且每位同学是否被录取相互不受影响，用X表示此4人中被录取的人数，求X的分布列与数学期望参考公式：，参考数据：，解：（1）（1+2+3+4+5+6+7）4，（29+33+36+44+48+52+59）43，9+4+1+0+1+4+928，5，435423回归直线方程为，该高校2021年所招的学生高考成绩不低于600分的人数预测值为：58+2363人；（2）用X表示此4人中被录取的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，4，P（X0）（）3，P（X1）+（）3，P（X2）+，P
22、（X3）+，P（X4），X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 数学期望E（X）21如图，已知在四棱锥PABCD中，O为AB中点，平面POC平面ABCD，ADBC，ABBC，PAPBBCAB2，AD3（1）求证：平面PAB面ABCD；（2）求二面角OPDC的余弦值【解答】（1）证明：ADBC，ABBC，BCAB2，AD3OC，OD，CD，OD2OC2+DC210，OCCD，即CD平面POC，CDPOPAPBAB，O为AB中点，POAB，PO底面ABCD，PO平面PAB，平面PAB面ABCD（2）解：过点C作CMOD于点M，过点M作MNPD于点N，连接CN则由于PO平面OCD，PO平面POD
23、，所以平面POD平面OCD，CM平面OCD，平面POD平面OCDOD，CM平面POD，CMPD，MNPD，MNCMM，PD平面MCN，PDNC，即MNC是二面角OPDC的平面角在RtOCD中，CM，在RtPCD中，CN，所以MN，所以二面角OPDC的余弦值为22已知函数f（x）（x2）ex+a（aR）（1）试确定函数f（x）的零点个数；（2）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，证明：x1+x22解：（1）由f（x）0得a（2x）ex，令g（x）（2x）ex，函数的零点个数即是直线ya与曲线g（x）（2x）ex的图象的交点个数，因为g（x）ex+（2x）ex（1x）ex，由g（x）0得x1，所
24、以g（x）在（，1）上单调递增，同理可得g（x）在（1，+）上单调递减，当x1时，函数g（x）由最大值，g（x）maxg（1）e，又当x2时，g（x）0，g（2）0，当x2时，g（x）0，作出函数g（x）的大致图象，当ae时，函数f（x）没有零点，当ae或a0时，函数f（x）只有一个零点，当0ae时，函数f（x）有两个零点（2）证明：函数的零点即直线ya与曲线g（x）（2x）ex的图象的交点的横坐标，由（1）知0ae，不妨设x11x2，得2x21，因为g（x）（2x）ex在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，所以函数f（x）g（x）+a在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，要证x1+x22，只需证x12x2，故只需证f（x1）f（2x2），又f（x1）0，故只需证f（2x2）0，由ag（x2）得，构造函数h（x）xe2x（x2）ex，则h（x）（1x）（exe2x），当x1时，exe2x，h（x）0，故函数h（x）在（1，+）上单调递减，所以当x1时，h（x）h（1）0，即当x21时，f（2x2）0，即x1+x22