1、阶段提升课 第四课 三角恒等变形 思维导图构建网络 考点整合素养提升 题组训练一 三角函数式求值 1.已知sin =+cos ,且 则 的值为_.120,2（）cos 2sin4（）2.已知 求-的值.513cos,tan,0,5322 【方法技巧】三角函数求值主要有三种类型(1)“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系,如和或差为特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式.(2)“给值求值”,即给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数的值,这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围
2、.(3)“给值求角”,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围.题组训练二 三角函数式化简 1.已知f(x)=当 时,化简f(sin 2)-f(-sin 2).【解析】f(sin 2)-f(-sin 2)=|sin-cos|-|sin+cos|.因为 ,所以sin cos 0,所以原式=cos-sin+sin+cos=2cos.1x,53(,)421sin 21 sin 222(sincos)(sincos)53(,)422.化简:【解析】原式=42212cos x2cos x2.2tan(x)sin(x)442221
3、2sin xcos x22sin(x)cos(x)44cos(x)4 22111 sin 2xcos 2x122cos 2x.22sin(x)cos(x)sin(2x)442【方法技巧】1.三角函数式化简的基本技巧(1)sin ,cos 凑倍角公式.(2)1cos 升幂公式.(3)asin +bcos 辅助角公式asin +bcos =sin(+),其中tan=或asin +bcos =cos(-),其中tan=.22abba22abab2.三角函数式化简的基本原则(1)切化弦.(2)异名化同名.(3)异角化同角.(4)高次降幂.(5)分式通分.(6)无理化有理.(7)常数的处理(特别注意“1
4、”的代换).3.三角函数式化简的目标(1)次数尽可能低.(2)角尽可能少.(3)三角函数名称尽可能统一.(4)项数尽可能少.题组训练三 三角恒等变换的证明 1.求证:【证明】左边=所以原等式成立.1 sin1(tan1).1 cossin22 222sincos2sincos22222cos2sincos2222(sincos)sincos12222(tan1).222cos(sincos)2cos2222右边2.求证:【证明】左边=sin(2)sin2cos().sinsin sin()2sin cos()sin sin cos()cos sin()2sin cos()sin sin cos
5、()cos sin()()sinsinsin sin.sin右边所以原等式成立【方法技巧】证明三角恒等式常用的方法(1)从复杂的一边入手,逐步化简,证得与另一边相等;在证明过程中,时刻“盯”住目标,分析其特征,时刻向着目标“奔”.(2)从两边入手,证得等式两边都等于同一个式子.(3)把要证的等式进行等价变形.(4)作差法,证明其差为0.题组训练四 三角恒等变换的综合应用 1.(2019浙江高考)设函数f(x)=sin x,xR.(1)已知 0,2),函数f(x+)是偶函数,求 的值.(2)求函数y=的值域.【命题意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算 求解能力.22f(
6、x)f(x)1242.已知向量a=(2cos x,sin x),b=(cos x,-2cos x),设函数f(x)=ab.(1)求f(x)的解析式.(2)求f(x)的单调递增区间.【方法技巧】与三角恒等变换有关的综合问题求解策略(1)以三角恒等变换为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简,将函数表达式变形为y=Asin(x+)+k或y=Acos(x+)+k等形式,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图像和性质.(2)以向量运算为载体,考查三角恒等变换.这类问题往往利用向量的知识和公式,通过向量的运算,将向量条件转化为三角条件,然后通过三角变换解决问题;有时还从三角与向量的关联点处设置问题,把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查.