1、考点规范练27平面向量的数量积与平面向量的应用考点规范练A册第18页基础巩固1.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,设向量a与b的夹角为,则ab=|a|b|cos|a|b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=|a|-|b|;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|a|-|b|.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,故选B.2
2、.已知a,b为单位向量,其夹角为60,则(2a-b)b=()A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角=60,则(2a-b)b=2ab-b2=2|a|b|cos-|b|2=211cos60-12=0,故选B.3.(2019全国,理7)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()A.6B.3C.23D.56答案:B解析:因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2.所以cos=ab|a|b|=|b|22|b|2=12,所以a与b的夹角为3,故选B.4.(2019全国,理3)已知AB=(2,3),AC=(3
3、,t),|BC|=1,则ABBC=()A.-3B.-2C.2D.3答案:C解析:由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,则BC=(1,0).所以ABBC=(2,3)(1,0)=21+30=2.故选C.5.(2019河北唐山一中高三下学期冲刺)设四边形ABCD为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4.若点M,N满足BM=3MC,DN=2NC,则AMNM=()A.20B.15C.9D.6答案:C解析:因为BM=3MC,DN=2NC,所以AM=AB+34BC,NM=13AB-14BC,则AMNM=AB+34BC13AB-14BC=13AB2-316BC2=9.
4、6.(2019广西桂林高三一模)已知平面向量AB,AC的模都为2,=90,若BM=MC(0),则AM(AB+AC)=()A.4B.2C.3D.0答案:A解析:设BC的中点为N,根据向量加法的平行四边形法则得到AB+AC=2AN,所以AM(AB+AC)=2AMAN.平面向量AB,AC的模都为2,AN是RtABC的中线,则|AN|=2.由向量投影的几何意义可得2AMAN=2|AN|2=4.故选A.7.已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且pq,则|p+q|的值为()A.5B.13C.5D.13答案:B解析:由题意,得26+3x=0,解得x=-4.|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|
5、(-2,3)|=13.8.在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为()A.5B.25C.5D.10答案:C解析:依题意得,ACBD=1(-4)+22=0,ACBD.四边形ABCD的面积为12|AC|BD|=12520=5.9.(2019北京,理7)设点A,B,C不共线,则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|BC|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析:A,B,C三点不共线,|AB+AC|BC|AB+AC|AB-AC|AB+AC|2|AB-AC|2ABAC0AB与AC的夹角为锐角.故“AB与AC
6、的夹角为锐角”是“|AB+AC|BC|”的充分必要条件,故选C.10.已知A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量AB在向量CD方向上的投影为.答案:2105解析:由A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),得AB=(2,2),CD=(-1,3),ABCD=2(-1)+23=4,|CD|=1+9=10,则向量AB在向量CD方向上的投影为ABCD|CD|=410=2105.11.设e1,e2是夹角为60的两个单位向量,若a=e1+e2与b=2e1-3e2垂直,则=.答案:14解析:e1,e2是夹角为60的两个单位向量,|e1|=|e2|=1,e1e2=
7、12.(e1+e2)(2e1-3e2),(e1+e2)(2e1-3e2)=2e12+(2-3)e1e2-3e22=2+12(2-3)-3=0.=14.12.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)(2a+b)=9.(1)求向量a与b的夹角;(2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.解:(1)因为|a|=2,|b|=1,(2a-3b)(2a+b)=9,所以4a2-3b2-4ab=9,即16-8cos-3=9.所以cos=12.因为0,所以=3.(2)由(1)可知ab=|a|b|cos3=1,所以|a+b|=a2+b2+2ab=7,a(a+b)=a2+ab=5.所以向量a在a+b方向上的投
8、影为a(a+b)|a+b|=57=577.能力提升13.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,m,n的夹角为,cos =13.若n(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.94D.-94答案:B解析:由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k0),因为n(tm+n),所以n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos+|n|2=t3k4k13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.14.已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-1答案:B解析:以BC所在的直线为x轴
9、,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).所以PB+PC=(-2x,-2y).所以PA(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32-32.当点P的坐标为0,32时,PA(PB+PC)取得最小值为-32,故选B.15.如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AEBE的最小值为()A.2116B.32C.2516D.3答案:A解析:如图,取AB的
10、中点F,连接EF,AEBE=(AE+BE)2-(AE-BE)24=(2FE)2-AB24=|FE|2-14.当EFCD时,|EF|最小,即AEBE取最小值.过点A作AHEF于点H,由ADCD,EFCD,可得EH=AD=1,DAH=90.因为DAB=120,所以HAF=30.在RtAFH中,易知AF=12,HF=14,所以EF=EH+HF=1+14=54.所以(AEBE)min=542-14=2116.16.(2019江苏,12)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若ABAC=6AOEC,则ABAC的值是.答案:3解析:如图,过点D作DFCE,交AB
11、于点F,由BE=2EA,D为BC中点,知BF=FE=EA,AO=OD.又ABAC=6AOEC=3AD(AC-AE)=32(AB+AC)AC-13AB=32ABAC-13AB2+AC2-13ABAC=3223ABAC-13AB2+AC2=ABAC-12AB2+32AC2,得12AB2=32AC2,即|AB|=3|AC|,故ABAC=3.17.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,ab=1.若e为平面单位向量,则|ae|+|be|的最大值是.答案:7解析:设a与b的夹角为,由已知得=60,不妨取a=(1,0),b=(1,3).设e=(cos,sin),则|ae|+|be|=|cos|+|co
12、s+3sin|cos|+|cos|+3|sin|=2|cos|+3|sin|,当cos与sin同号时等号成立.所以2|cos|+3|sin|=|2cos+3sin|=727cos+37sin=7|sin(+)|其中sin=27,cos=37,取为锐角.显然7|sin(+)|7.易知当+=2时,|sin(+)|取最大值1,此时为锐角,sin,cos同为正,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为7.高考预测18.已知两个平面向量a,b满足|a|=1,|a-2b|=21,且a与b的夹角为120,则|b|=.答案:2解析:向量a,b满足|a|=1,|a-2b|=21,且a与b的夹角为120,(a-2b)2=a2-4ab+4b2=1-41|b|cos120+4|b|2=21,化简得2|b|2+|b|-10=0,解得|b|=2(负值舍去).
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