1、专题4 第3课时(本栏目内容，在学生用书以独立形式分册装订！)一、选择题1若直线l1，l2的方向向量分别为u，v，则下列直线l1，l2中既不平行也不垂直的是()Au(1,2，1)，v(0,2,4)Bu(3,0，1)，v(0,0,2)Cu(0,2，3)，v(0，2,3)Du(1,6,0)，v(0,0，4)解析：A选项中uv0440，所以l1l2；C选项中uv，所以u，v共线，因此l1，l2平行；D选项中uv0000，所以l1l2，故选B.答案：B2在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且，则()A，1B，1C1， D1，解析：()()，1.答案：A3已知平面内有一个
2、点M(1，1,2)，它的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点P中，在平面内的是()AP(2,3,3) BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)解析：由于n(6，3,6)是平面的一个法向量，所以它应该和平面内的任意一个向量垂直，只有在选项A中，(2,3,3)(1，1,2)(1,4,1)，n(1,4,1)(6，3,6)0，所以点P(2,3,3)在平面内答案：A4.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：如图所示，连接A1C1，AA1平面A1B1C1D1，AC1A1就是直线AC1
3、与平面A1B1C1D1所成角的平面角而AC13，sinAC1A1.答案：D5.菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB2，BCD60，现将其沿对角线BD折成直二面角ABDC(如图)，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：()()00011，而|2，cos，故异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选C.答案：C6正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为()A. B.C. D.解析：以A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(0,0,1)，E，
4、D(0,1,0)，F，D1(0,1,1)，(0,1,0)设平面A1D1E的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1.n(1,0,2)又，点F到平面A1D1E的距离d.答案：C二、填空题7设a(1,2,0)，b(1,0,1)，则：“c”是“ca，cb且c为单位向量”的_条件解析：当c时，ca，cb且c为单位向量，反之则不成立答案：充分不必要8.如右图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是_解析：以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，A1(1,0,2)，B(0,1,0)，A(1,0
5、,0)，C(0,0,0)，则(1,1，2)，(1,0,0)，cos，.答案：9将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD所成的角为60；AB与CD所成的角为60.其中正确的序号是_(写出你认为正确的结论的序号)解析：取BD中点O，连接AO、CO，则AOBD，COBD，BD面AOC，ACBD，又ACAOADCD，ACD是等边三角形而ABD是AB与平面BCD所成的角，应为45.又AABD(设ABa)，则a2a22a2a22aa2aa2a2cosA，D，cosA，D，AB与CD所成角为60.答案：三、解答题10(2011陕西卷)如
6、图，在ABC中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)设E为BC的中点，求A与D夹角的余弦值解析：(1)证明：折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB.又DBDCD，AD平面BDC.AD平面ABD，平面ADB平面BDC.(2)由BDC90及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|1，以D为坐标原点，分别以D，D，D所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E，A，D(1,0,0)，A与D夹角的余弦值为c
7、osA，D.11.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，BC侧面AA1C1C，ACBC1，CC12，CAA1，D、E分别为AA1、A1C的中点(1)求证：A1C平面ABC；(2)求平面BDE和平面ABC所成锐二面角的余弦值解析：(1)证明：BC侧面AA1C1C，A1C平面AA1C1C，BCA1C.在AA1C中，AC1，AA1C1C2，CAA1，由余弦定理得A1C2AC2AA122ACAA1cosCAA11222212cos3，所以A1C，故有AC2A1C2AA12，所以ACA1C，而ACBCC.A1C平面ABC.(2)如图，以C为原点，以CA，CA1，CB所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直
8、角坐标系，则C(0,0,0)，B(0,0,1)，A(1,0,0)，A1(0，0)由此可得，D，E，故，.设平面BDE的法向量n(x，y，z)，则由得，即，整理得，令z1，则x0，y，n是平面BDE的一个法向量A1C平面ABC，(0，0)是平面ABC的一个法向量，cosn，平面BDE和平面ABC所成锐二面角的余弦值为.12.如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA12.(1)求三棱锥CA1B1C1的体积V；(2)求直线BD1与平面ADB1所成角的正弦值；(3)若棱AA1上存在一点P，使得，当二面角AB1C1P的大小为30时，求实数的值解
9、析：(1)在RtA1AD中，A1DA90，A1A2，AD1，A1D.注意到点C到面A1B1C1的距离即为四棱柱ABCDA1B1C1D1的高A1D的长，所以VA1B1B1C1A1D.(2)以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)A1(0,0，)，B1(0,1，)，D1(1,0，)，C1(1,1，)，(2，1，)，(1,0,0)，(0,1，)，设平面ADB1的法向量m(x，y，z)，由，得平面ADB1的一个法向量为m(0，1)，记直线BD1与平面ADB1所成的角为，则sin .(3)，P，又(1,0,0)，设平面B1C1P的法向量n(a，b，c)，由，得平面B1C1P的一个法向量为n(0，1)，则cos 30，注意到0，解得2.w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u