1、四弦切角的性质课后篇巩固探究一、A组1.如图,MN与O相切于点M,Q和P是O上两点,PQM=70,则NMP等于()A.20B.70C.110D.160解析:NMP是弦切角,NMP=PQM=70.答案:B2.如图,已知AB和AC分别是O的弦和切线,点A为切点,AD为BAC的平分线,且交O于点D,BD的延长线与AC交于点C,AC=6,AD=5,则CD的长度等于()A.3B.4C.5D.6解析:由题意,得CAD=ABC.因为AD为BAC的平分线,所以CAD=DAB,从而CBA=DAB,所以DB=AD=5,且ACDBCA,于是,即,解得CD=4(负值舍去).答案:B3.如图,四边形ABCD是圆的内接四
2、边形,AB是直径,MN是O的切线,切点为C.若BCM=38,则B=()A.32B.42C.52D.48解析:如图,连接AC.BCM=38,MN是O的切线,BAC=38.AB为O的直径,BCA=90.B=90-38=52.答案:C4.如图,AB是O的直径,EF切O于点C,ADEF于点D,AD=2,AB=6,则AC的长为()A.2B.3C.2D.4解析:如图,连接BC.EF是O的切线,ACD=ABC.又AB是O的直径,ACB=90.又ADEF,ACB=ADC.ADCACB.AC2=ADAB=26=12,AC=2.答案:C5.如图,若AB切O于A,AC,AD为O的弦,且,则C与CAB的关系是.解析:
3、因为,所以ADC=ACD.又由弦切角定理可得BAC=ADC,故C=CAB.答案:C=CAB6.已知AB是O的弦,PA是O的切线,A是切点.如果PAB=30,那么AOB=.解析:弦切角PAB=30,它所夹的弧所对的圆周角等于30,所对的圆心角等于60.答案:607.已知PA是圆O的切线,切点为A,PO交圆O于B,C两点,AC=,PAB=30,则线段PB的长为.解析:连接OA,PA为O的切线,OAP=90,C=PAB=30,OBA=OAB=60,P=PAB=30,PB=AB.又AC=,BC为O的直径,CAB=90,AB=1,PB=1.答案:18.如图,O1与O2交于A,B两点,过O1上一点P作直线
4、PA,PB分别交O2于点C和点D,EF切O1于点P.求证:EFCD.证明:连接AB,EF是O1的切线,由弦切角定理知,FPA=PBA.又在O2中,四边形ABDC为圆内接四边形,C=ABP,FPA=C,EFCD.9.如图,在ABC中,B=90,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D,直线ED交BC的延长线于F.若ADAE=21,求tanF的值.解:如图,连接BD.AC为O的切线,ADE=ABD.A=A,ADEABD,即,.BE为O的直径,BDE=90,tanABD=.F+BEF=90,ABD+BEF=90,ABD=F,tanF=tanABD=.二、B组1.如图,
5、在圆的内接四边形ABCD中,AC平分BAD,EF切O于C点,则图中与DCF相等的角的个数是()A.4B.5C.6D.7解析:DCF=DAC,DCF=BAC,DCF=BCE,DCF=BDC,DCF=DBC.答案:B2.如图,O和O相交于A,B两点,过点A作两圆的切线,分别交两圆于C,D两点.若BC=2,BD=4,则AB的长为()A.2B. 2C.4D.6解析:AC,AD分别是两圆的切线,C=BAD,D=BAC.ACBDAB.AB2=BCDB=24=8,解得AB=2(负值舍去).答案:A3.已知AB切O于点A,圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为31,则夹劣弧的弦切角BAC=.解析:优弧与劣弧之比为
6、31,劣弧所对的圆心角为90,所对的圆周角为45,故由弦切角定理可知,弦切角BAC=45.答案:454.导学号52574036如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上.延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC=.解析:连接OC.AB为圆O的直径,ACBC.又BC=CD,AB=AD=6,BAC=CAD.又CE为圆O的切线,则OCCE.ACE为弦切角,ACE=B.ACE+CAD=90.CEAD.又ACCD,CD2=EDAD=26=12,即CD=2.BC=2.答案:25.如图,ABC内接于O,AB=AC,直线XY切O于点C,BDXY,AC,BD相交于E.(1)求
7、证:ABEACD;(2)若AB=6 cm,BC=4 cm,求AE的长.(1)证明:因为XY是O的切线,所以1=2.因为BDXY,所以1=3,故2=3.因为3=4,所以2=4.因为ABD=ACD,又因为AB=AC,所以ABEACD.(2)解:易知3=2,ABC=ACB,所以BCEABC,即ACCE=BC2.因为AB=AC=6 cm,BC=4 cm,所以6(6-AE)=16,故AE= cm.6.导学号52574037如图,AB为O的直径,直线CD与O相切于E,ADCD于D,BCCD于C,EFAB于F,连接AE,BE.证明:(1)FEB=CEB;(2)EF2=ADBC.证明:(1)由直线CD与O相切,得CEB=EAB.由AB为O的直径,得AEEB,从而EAB+EBF=.又EFAB,得FEB+EBF=.从而FEB=EAB,故FEB=CEB.(2)由BCCE,EFAB,FEB=CEB,BE是公共边,得RtBCERtBFE,所以BC=BF.同理可证RtADERtAFE,得AD=AF.在RtAEB中,EFAB,故EF2=AFBF,所以EF2=ADBC.