1、 第二节 函数的单调性与最值 A 组 基础题组 1.(2015 北京丰台一模)下列函数中,在区间(0,+)上存在最小值的是()A.y=(x-1)2 B.y=C.y=2x D.y=log2x 2.下列函数中,满足“x1,x2(0,+),且 x1x2,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0”的是()A.f(x)=-x B.f(x)=x3 C.f(x)=ln x D.f(x)=2x 3.函数 f(x)=-x+在-,-上的最大值是()A.B.-C.-2 D.2 4.定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,且 f(x)在(-,2)上是增函数,则()A.f(-1)f(3)C.f(-1)
2、=f(3)D.f(0)=f(3)5.(2016 北京海淀期末)已知函数 f(x)=,则下列结论正确的是()A.x0R,f(-x0)-f(x0)B.xR,f(-x)f(x)C.函数 f(x)在-,上单调递增 D.f(x)的值域是-1,1 6.已知 f(x)=(-),的值域为 R,那么 a 的取值范围是 .7.已知函数 f(x)=-,(),则 f(x)的最小值是 .8.已知 f(x)=-(xa),若 a0 且 f(x)在(1,+)内单调递减,则 a 的取值范围是 .9.已知函数 f(x)=-(a0,x0).(1)求证:f(x)在(0,+)上是增函数;(2)若 f(x)在 ,上的值域是 ,求 a 的
3、值.10.已知函数 f(x)=2x-的定义域为(0,1(a 为实数).(1)当 a=1 时,求函数 y=f(x)的值域;(2)求函数 y=f(x)在区间(0,1上的最大值及最小值,并求出当函数 f(x)取得最值时 x 的值.B 组 提升题组 11.(2014 北京西城二模)设函数 f(x)=-,若函数 y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数 a 的取值范围是()A.(-,1 B.1,4 C 4,+)D.(-,14,+)12.记实数 x1,x2,xn中的最大数为 maxx1,x2,xn,最小数为 minx1,x2,xn,则maxminx+1,x2-x+1,-x+6=()A.B.1 C
4、.3 D.13.(2016 北京东城期中)已知函数 f(x)=,(a0 且 a1)的最大值为 2,则实数 a 的取值范围是()A.(,B.(0,)C.(0,1)D.(,)14.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=在区间1,2上都是减函数,则 a 的取值范围是()A.(-1,0)(0,1)B.(-1,0)(0,1 C.(0,1)D.(0,1 15.(2014 北京海淀期中)已知 a0,函数 f(x)=,-,),),若 f(-)-,则实数 t 的取值范围是()A.-,)B.-1,0)C.2,3)D(0,+)16.(2017 北京东城一模)如果函数 y=f(x)在定义域内存在区间a,b,使
5、f(x)在a,b上的值域是2a,2b,那么称 f(x)为“倍增函数”若函数 f(x)=ln(ex+m)为“倍增函数”,则实数 m 的取值范围是()A.(-,)B.(-,)C.(-1,0)D.(-,)17.(2016 北京顺义尖子生素质展示)已知函数 f(x)=x(x+a)是奇函数,其中 aR (1)求 a 的值;(2)设 b0,若函数 f(x)在区间-b,b上的最大值与最小值的差为 b,求 b 的值.答案精解精析 A 组 基础题组 1.A 2.A 3.A 4.A 5.D 6.答案-,)解析 由题意知-,-,-1a ,即 a 的取值范围是-,).7.答案 2-3 解析 当 x1 时,x+-32
6、-3=2-3,当且仅当 x=,即 x=时等号成立,此时 f(x)min=2-30;当 x1 时,lg(x2+1)lg(02+1)=0,此时 f(x)min=0.所以 f(x)的最小值为 2-3.8.答案(0,1 解析 任取 x1,x2(1,+),且 x10,x2-x10,要使 f(x1)-f(x2)0,只需(x1-a)(x2-a)0 恒成立.a1,又 a0,故 a 的取值范围是(0,1.9.解析(1)证明:任取 x1,x2(0,+),且 x2x1,则 x2-x10,x1x20,f(x2)-f(x1)=(-)-(-)=-=-0,f(x2)f(x1),f(x)在(0,+)上是增函数.(2)f(x)
7、在 ,上的值域是 ,且 f(x)在 ,上单调递增,f()=,f(2)=2.易得 a=.10.解析(1)当 a=1 时,f(x)=2x-,任取 x1,x2(0,1,且 x1x2,则 f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)-(-)=(x1-x2)().0 x20,x1x20,f(x1)f(x2),f(x)在(0,1上单调递增,无最小值,当 x=1 时取得最大值 1,所以 y=f(x)的值域为(-,1 (2)当 a0 时,y=f(x)在(0,1上单调递增,无最小值,当 x=1 时取得最大值 2-a;当 a0 时,f(x)=2x+-,当-1,即 a(-,-2时,y=f(x)在(0,1上单调递减,无最
8、大值,当 x=1 时取得最小值 2-a;当-时,f(x)=logax 为减函数且最大值不超过 2.,-,00,0a1 15.D 当-t 时,-1t-,只需 t-即可,t0,即 0t0,函数 f(x)=ax2+ax+1 的图象开口向上,对称轴为 x=-,当 x0,+)时,其最小值为 1,满足f(-)-,t 符合题意.综上可知,t 的取值范围是(0,+),故选 D.16.D 函数 f(x)=ln(ex+m)为“倍增函数”,存在区间a,b,使得 f(x)在a,b上的值域是2a,2b.f(x)在a,b上是增函数,(),(),即 -,-方程 e2x-ex-m=0 有两个不等实根,令 t=ex,则 t0,
9、方程 t2-t-m=0 有两个不等实根,且两根都大于 0.,-,解得-m0.故选 D.17.解析(1)因为函数 f(x)的定义域为 R,且函数 f(x)为奇函数,所以 f(-1)=-f(1),即 a-1=-(a+1),解得 a=0.验证可得 a=0 时,f(x)是奇函数,故 a 的值为 0.(2)由(1)得 f(x)=x x=,-,当 x0 时,f(x)0,且 f(x)在0,b上为增函数;当 x0 时,f(x)0,且 f(x)在-b,0)上为增函数.所以当 x=b 时,f(x)取到最大值 b2;当 x=-b 时,f(x)取到最小值-b2.依题意,得 b2-(-b2)=b,解得 b=或 b=0(舍去),故当 b=时,函数 f(x)在区间-b,b上的最大值与最小值的差为 b.