1、南充高中高2023届第二次模拟考试数学 理科满分: 150分 年级: 高三一 选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）1.设集合 ，则集合 和集合 的关系是（ ）A. B. C. D. 2. 已知 , 则 “ ” 是 “ 与 的夹角为钝角” 的（ )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3. 若 展开式的二项式系数之和为 64 , 则展开式的常数项为 ( )A.10B.20C.30D.1204. 若 , 则 =( ）A. B. C.7D. 5.基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数. 基本再生数指一个感染者传染的平均人数, 世代间隔指相邻两
2、代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段, 可以用指数模型: 描述累计感染病例数 随时间 (单位: 天)的变化规律, 指数增长率 与 近似满足 . 有学者基于已有数据估计出 . 据此,在新冠肺 炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(参考数据: （ ）A.1.5 天B.2 天C.2.5 天D.3.5 天6. 函数 在区间 上的图象为 ( )A.B.C.D.7. 已知函数 是 上的偶函数, 且 的图象关于点 对称, 当 时, , 则 的值为 ( )A. B.1C. D.28. 要得到函数 的图象, 只需将函数 的图象 ( )A.向左平移 个单位长度B.向右平移 个单位长度C.向
3、左平移 个单位长度D.向右平移 个单位长度9. 如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 10. 在 中, , 若不等式 恒成立, 则实数 的取值范围是 ( )A. B. C. D. 11. 已知函数 , 方程 恰有两个不同的实数根 , 则 的最小值与最大值的和 ( )A. B.2C. D. 12. 设 , 则 的大小关系正确的是 ( )A. B. C. D. 二填空题（共计4道小题，每题5分，共计20分）13.记 为正项等比数列 的前 项和, 若 , 则 的值为_.14 已知向量 与 的夹角是 , 则向量 与 的夹角为_.15
4、棱长为 6 的正方体内有一个棱长为 的正四面体, 且该四面体可以在正方体内任意转动, 则 的最大值为_.16已知抛物线 的焦点为 , 过点 作倾斜角为 的直线 交 于 两点, 过 分别作 的切线 与 交于点 与 轴的交点分别为 , 则四边形 的面积为_.三解答题（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算步骤）17.（本题满分12分）手机厂商推出一款 6 寸大屏手机，现对 500 名该手机使用者（200 名女性，300 名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（本题满分1）完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体
5、值，给出结论即可）；（2）把评分不低于 70 分的用户称为“评分良好用户”，能否有 90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考公式: , 其中 18.（本题满分12分）已知函数 只能同时满足以下三个条件中的两个.函数 的最大值是 2 ; 函数 的图象可由函数 左右平移得到;函数 的对称中心与 的对称轴之间的最短距离是 .(1) 写出这两个条件的序号 (不必说明理由) 并求出函数 的单调递增区间;(2) 已知 的内角 所对的边分别为 , 满足 , 点 为 的中点, 且 , 求 的值.19（本题满分12分）如图, 在四棱锥 中, 面 , 是 的中点.(I) 求证: ;(II) 若二面角 的余
6、弦值为 , 求线段 长.20.（本题满分12分）在平面直角坐标系 中, 椭圆 的左, 右顶点分别为 , 点 是椭圆的右焦点, .(I) 求椭圆 的方程;(II) 不过点 的直线 交椭圆 于 两点, 记直线 的斜率分别为 . 若 , 证明直线 过定点, 并求出定点的坐标.21.（本题满分12分）已知函数 . (其中 为参数) 在点 处的切线方程为 .(1) 求实数 的值;(2) 求函数 的最小值;(3) 若对任意的 , 不等式 恒成立, 求实数 的取值范围.选做题（本题满分10分）22. 选修 4-4: 坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中, 设曲线 的参数方程为 ( 为参数), 以坐标原点 为
7、极点, 以 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设曲线 的极坐标方程为 .(1) 求曲线 的普通方程;(2) 若曲线 上恰有三个点到曲线 的距离为 , 求实数 的值.23 选修 4-5: 不等式选讲 已知函数 , 且 的解集为 .(1) 求 的值;(2) 若正实数 满足 , 求证: .南充高中高2023届第二次模拟考试数学 理科参考答案及解析一 选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）1. 【答案】C 【解析】略2. 【答案】C 【解析】 与 的夹角为钝角，则要满足 ，即 ，解得: 且 因为 是 的真子集 所以 是“ 与 的夹角为钝角”的必要不充分条件3. 【答案】B 【解析】根据题意可得 ，
8、解得 ，则 展开式的通项为 ， 令 ，得 ，所以常数项为: .4. 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ,所以 ，故选: B5. 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ，所以 ， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 天，则 ，所以 ，所以 ，所以 天.故选: B.6. 【答案】D 【解析】 为奇函数，排除 ；又 ，排除 ； ，即 ，排除 ，故选: D7. 【答案】C 【解析】因为 是 上的偶函数，所以 ，又 的图象关于点 对称，则 ，所以 ，则 ，得 ，即 ，所以 是周期函数，且周期 ，由 时， ，则 ， 则 ，则 .8. 【答案】D 【解析】把 化为 ，故把 的图象向
9、左平移 个单位，即得函数 的图象.详解: ,故把 的图象向左平移 个单位 , 即得函数 的图象，即得到 函数 的图象.故选D 9. 【答案】A 【解析】、如图，该几何体可看成由长方体 和四棱锥 组合而成， 该几何体的表面积为四棱锥的侧面积、长方体的侧面积和一个底面面积之和， 其中 ，平面 平面 ， ，则可得 ，故 ，则 .又等腰 底边上的高为 ，故 ，则该几何体的表面积为: 故选: A.10. 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ， ，当且仅当 时等号成立.要使不等式 恒成立，则 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .故选: A.11. 【答案】C 【解析】作出函数
10、 的图象如下图所示:由图象可知, 当 时, 直线 与函数 的图象有两个交点 , , 则 , 可得 ，则 ,构造函数 , 其中 , 则 . 当 时, , 此时函数 单调递减; 当 时, , 此时函数 单调递增. 所以, , 因此, 的最大值和最小值之和为 . 故选:C12. 【答案】D 【解析】因为 ，所以只要比较 的大小即可 ， 令 ，则 ，所以 在 上递增，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，令 ，则 因为 在 上为减函数，且 ，所以当 时， ，所以 在 上为减函数，因为 ，要比较 与 的大小，只要比较 与 的大小， 令 ，则 ， 所以 在上递增，所以 ，所以当 时， ，所以 ，所以 ，所以 ，所
11、以当 时， ，所以 在 上递增，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，故选: D二填空题（共计4道小题，每题5分，共计20分）13 设正项等比数列 的公比为 ，因为 为正项等比数列 的前 项和，且 ， 所以 ，即 所以 ，所以 (舍去) ， 又 ，所以 的值为 2 . 故答案为: 2 .14 略15由题意得，该正四面体在棱长为 6 的正方体的内切球内，故该四面体内接于球时棱长最大， 因为棱长为 6 的正方体的内切球半径为 如图，设正四面体 为底面 的中心，连接 ，则 底面 ， 则可知 , 正四面体的高 利用勾股定理可知 ，解得: 故答案为: 16由题意可知, 且直线 倾斜角为 , 则
12、 则直线 方程为 , 即 设 不妨设 在第一象限，联立 , 消去 得 解得 代入直线方程, 则 因为直线 与抛物线相切于点 ,即 ，则 所以 ,同理可得 ,则可得直线 方程为 ,即 ,则其与 轴交点, 令 , 则 所以 直线 的方程为 即 ,则其与 轴交点, 令 , 则 所以 , 所以 联立 方程 , 解得 , 即 点坐标为 , . 故答案为 4 . 三（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算步骤）17. 【答案】女性用户评分的平均值为 74.5；由图可得女性用户评分的波动小，男性用户评分的波动大.（2） 故有 90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关. 【解析】解: (1) 对于
13、女性用户, 评分在 的频率为 , 评分在 的频率为 , 评分在 的频率为 , 评分在 的频率为 , 评分在 的频率 为 ,对于男性用户, 评分在 的频率为 , 评分在 的频率为 , 评分在 的频率为 , 评分在 的频率为 , 评分在 的频率为 所以女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如图所示:女性用户评分的平均值为 74.5；由图可得女性用户评分的波动小，男性用户评分的波动大.（2）根据打分的频数分布表得列联表如下 故有 90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关.18. 【答案】(1) , 单调递增区间为 ; (2) 【解析】(1) 可得函数 只能同时满足(1)(3), 结合最值可求 ,
14、结合周期可求 , 然后结合 正弦函数的性质可求;(2) 由 可求 , 然后结合直角三角形性质及正弦定理可求.(1) 由(1)得 , 由(2)得 ,由(3)知 , 则 , 所以函数 只能同时满足(1)(3), 故 ,由 得 , 故 的单调递增区间为 ;(2) , , 即 ,设线段 的中点为 , 即 , 由正弦定理可得 .19. 【答案】(1)证明见解析; (2) . 【解析】证明 得到 面 , 即可得到 .(2) 建立空间直角坐标系, 设 , 求出平面 的法向量与面 的一个法向量, 再由 , 即可求出 的值, 即可求出答案.解: (1) 证明: 面 面 又 又 面 面 又 面 ;(2) 如图,以
15、 为原点, 的方向分别为 轴, 轴, 轴的正方向, 建立空间直角坐标系, , 则 , 不妨设 ,则 ,则 易知 为面 的一个法向量 又 , 设 为面 的法向量, 则 即 取 依题意, 所以线段 长为 .20. 【答案】(1) ;(2)证明见解析, . 【解析】(1)写出 的坐标, 求出向量坐标, 根据向量的关系即可列出方程组, 求得 和椭圆的标准方程;(2) 设直线 的方程为 . 联立直线 与椭圆方程, 根据韦达定理 得到根与系数的关系, 求出 , 根据 即可求得 和 的关系, 即可证明直线过 定点并求出该定点.解: (1)由题意, 知 解得 从而 梋圆 的方程 ;(2)设直线 的方程为 .
16、直线 不过点 , 因此 .由 得 . 时, , .由 , 可得 , 即 ,故 的方程为 , 恒过定点 .21. 【答案】(1) (2) .(3) 的取值范围为 . 【解析】(1)利用导数的几何意义可得出结果.(2)对 求导并讨论单调性, 即可得出 的最小值.(3) 对 取值范围 分类讨论, 构造 并求导, 对参数 的 取值范围 分类讨论 单调性, 结合零点存在定理即可得出结果.解:（本题满分1） 由题意得 , 即 , 解得 (2) , 则 .(1)当 时, 由 , 则 , 所以 在 上单调递减.(2)当 时, 由 知 ,所以 在 上单调递增, 故 即 , 所以 在 上单调递 增, 所以, .(
17、3) 对 分情况讨论处理:(i) 当 时, 不等式 等价于 , 令 , 则 ,(1)当 时, 由 (2) 知 , 所以 单调递增, 所以 , 满足题意.(2)当 时, 由 (2) 知 在 上单调递增, 令 , 则 , 有 , 所以当 时 , 当 时 , 所以 ,所以 在 上单调递增, 则 , 即 所以 , 又 ,所以存在唯一 使得 , 且当 时, 单调递减, 所以当 时, , 不满足题意(ii) 当 时, 不等式 等价于 ,当 时, 同（i）可知 , 所以 单调递增, 所以 , 满足题意.当 时, 由 (2) 知 在 上单调递减 , 从而存在唯一 使得 , 且当 时, 单调递减, 所以当 时,
18、 , 不满足题意(iii) 当 时, 对任意的 , 原不等式恒成立.综上得, 的取值范围为 .22. 【答案】(1) (2) 【解析】(1) 曲线 的参数方程消去参数即可求出曲线 的普通方程;(2) 首先曲线 的极坐标方程转化为普通方程, 可以得到曲线 是圆, 要使曲线 上恰有三 个点到曲线 的距离为 , 圆心到直线的距离 , 求解方程即可.解:（本题满分1）由已知得 代入 , 消去参数 得 曲线 的普通方程为 .(2) 由曲线 的极坐标方程 得 , 又 , 所以 , 即 , 所以曲线 是圆心为 , 半径等于 的圆. 因为曲线 上恰有三个点到曲线 的距离为 ,所以圆心 到直线 的距离 ,即 , 解得 .23 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】(1) 解对值不等式 , 再根据题意, 即可求出 的值;（2）由（本题满分1）知 , 可得 , 对其两边平方, 再根据基本不等式, 即可求证结果.解: (1)由 可得: , 即 , 即 或 的解集为 且 ;(2) 解: 由（本题满分1） 知: