1、9.2.2向量的数乘学 习 任 务核 心 素 养1掌握向量数乘的运算及其几何意义(重点) 2理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理3了解向量线性运算的性质及其几何意义1通过向量数乘概念的学习，培养数学抽象素养2通过向量数乘的运算及其运算律的应用，培养数学运算素养一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？兔子在相反方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是3a吗？ 知识点1向量的数乘定义一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|a|；(2)若a0，则当0时，a与a
2、方向相同；当0时，a与a方向相反实数与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘特别地，当0时，0a0；当a0时，00向量的数乘a的几何意义：当0时，把向量a沿着a的相同方向放大或缩小；当0时，把向量a沿着a的相反方向放大或缩小1a0，一定能得到0吗？提示不一定a0，则0或a01思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)a0，则a0()(2)对于非零向量a，向量3a与向量3a方向相反()(3)对于非零向量a，向量6a的模是向量3a的模的2倍()答案(1)(2)(3)知识点2向量数乘的运算律设a，b为向量，为实数，则(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab向量的加法、减法和数乘统称为向量
3、的线性运算2(1)5(4a)_(2)ae12e2，b3e12e2，则ab_(1)20a(2)4e1(1)5(4a)5(4)a20a(2)ab(e12e2)(3e12e2)4e1知识点3向量共线定理一般地，对于两个向量a(a0)，b，设a为非零向量，如果有一个实数，使ba，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba2向量共线定理中，为什么规定a0提示当a0时，显然b与a共线，此时若b0，则存在无数实数，使ba；若b0，则不存在实数使得ba3已知e1和e2不共线，则下列向量a，b共线的序号是_a2e1，b2e2；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e
4、2；ae1e2，b2e12e2e1与e2不共线，不正确；对于有b2a；对于有a4b；不正确 类型1向量数乘的基本运算【例1】计算：(1)6(3a2b)9(2ab)；(2)；(3)6(abc)4(a2bc)2(2ac)解(1)原式18a12b18a9b3b(2)原式abababa0(3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c6a2b向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解.跟进训练1若向量a3i4j，b5i4j，则3(2ba)_16i
5、j原式ab3a2b2baab(3i4j)(5i4j)(115)i j16ij 类型2向量的共线问题【例2】已知非零向量e1，e2不共线 (1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值(1)欲证A，B，D三点共线，能否证明与或共线？(2)若ke1e2与e1ke2共线，则两向量间存在怎样的等量关系？解(1)证明：e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线(2)ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线
6、，只能有k11证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据2若A，B，C三点共线，则向量，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系而向量共线定理是实现线性关系的依据跟进训练2(对接教材P19T11)已知O，A，M，B为平面上四点，且(1)(R，0且1)(1)求证：A，B，M三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数的取值范围解(1)证明：(1)，(R，0，且1)又与有公共点A，A，B，M三点共线(2)由(1)知，若点B在线段AM上，则与同向，|0，1 类型3向量的表示【例3】如图所示，已知OAB中，点C是以A为对称中心的
7、B点的对称点，D是把分成21的一个内分点，DC和OA交于E，设a，b(1)用a和b表示向量，；(2)若，求实数的值解(1)依题意，A是BC中点，2，即22ab，2abb2ab(2)若，则a(2ab)(2)ab与共线，存在实数k，使k，(2)abk，解得用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理，用已知向量表示未知向量；(3)求解过程体现了数学上的化归思想跟进训练3(1)设O是ABC内部一点，且3，则AOB与AOC的面积之比为_(2)如图，在OADB中，设a，b，试用a，b表示_(1)(
8、2)ab(1)如图，由平行四边形法则，知，其中E为AC的中点所以23所以，|设点A到BD的距离为h，则SAOB|h，SAOC2SAOE|h所以(2)由题意知，在OADB中，()(ab)ab则babab，()(ab)ab，ababab1已知线段上A，B，C三点满足2，则这三点在线段上的位置关系是()ABCD答案A2(多选题)若4，则下列各式中正确的是()A3 B3C DBCD由4可知433，故A错误，B正确；同理可知，故选BCD3已知mR，下列说法正确的是()A若ma0，则必有a0B若m0，a0，则ma与a方向相同Cm0，a0，则|ma|m|a|D若m0，a0，则ma与a共线DA错若ma0，则m
9、0或a0；B错m0时，ma与a同向，m0时，ma与a反向；C错|ma|m|a|，m0时，|ma|m|a|；m0时，|ma|m|a|4ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，且a，b，则_(用a，b表示)(ba)(ba)5若5e，7e，且|，则四边形ABCD的形状是_等腰梯形5e，7e，与平行且方向相反，易知|又|，四边形ABCD是等腰梯形回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何描述向量a的大小、方向？提示向量a的大小为：|a|a|；向量a的方向与实数有关：当0时，a的方向与a相同；当0时，a的方向具有任意性；当0时，a的方向与a相反2若xy，则A，B，P三点共线的充要条件是什么？提示xy13若向量a，b共线，且a0，则a与b存在怎样的等量关系？提示ba，其中是唯一确定的实数