1、第十讲函数模型及其应用ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点函数模型及其应用1几类常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)2.三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调
2、递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn0，b0，x0)在区间(0，内单调递减，在区间，)内单调递增2直线上升、对数缓慢、指数爆炸题组一走出误区1(多选题)下列结论不正确的是(ABCD)A函数y2x的函数值比yx2的函数值大B“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻C幂函数增长比直线增长更快D不存在x0，使ax0xlogax0解析A当x1时，211，a0的指数型函数g(x)abxc.C幂函数增长速度是逐渐
3、加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制D当a(0,1)时存在x0，使ax0x8.57.125，知L(t)max9.125.从而第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元名师点拨 (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏(3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值角度2指数函数与对数函数模型例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟
4、类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：vablog3(其中a，b是实数)据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？分析(1)(2)解析(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，则ablog30，即ab0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，则ablog31，整理得a2b1.解方程组得(2)由(1)知，vablog31log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，则v2，所
5、以1log32，即log33，解得27，即Q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位名师点拨 指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题变式训练2(1)(角度1)(2020四川绵阳诊断性测试)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月
6、用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为(C)A13立方米 B14立方米C15立方米 D16立方米(2)(角度2)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y()ta(a为常数)，如图所示，据图中提供的信息，回答下列问题：从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y；据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可
7、进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室解析(1)设该职工某月的实际用水为x立方米时，水费为y元，由题意得y即y易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x2055，解得x15，故选C(2)设ykt，由图象知ykt过点(0.1,1)，则1k0.1，k10，y10t(0t0.1)由y()ta过点(0.1,1)，得1()0.1a，解得a0.1，y()t0.1(t0.1)由()t0.10.25，得t0.6.故至少需经过0.6小时学生才能回到教室MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升 函数yx(a0)模型及应用例5
8、(2019烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元在年产量不足8万件时，W(x)x2x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)6x38(万元)每件产品售价为5元通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入固定成本流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解析(1)因为每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元，依题意得：当0x8时，L(x
9、)5x(x2x)3x24x3.当x8时，L(x)5x(6x38)335(x)所以L(x)(2)当0x8时，L(x)(x6)29，此时，当x6时，L(x)取得最大值L(6)9(万元)当x8时，L(x)35(x)352352015(万元)此时，当且仅当x，即x10时，L(x)取得最大值15万元因为915，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元名师点拨 (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域(2)利用模型f(x)ax求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件变式训练3某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地当矩形温室的边长各为40_m,20_m时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是648_m2.解析设矩形温室的左侧边长为x m，则后侧边长为 m，所以蔬菜种植面积y(x4)(2)8082(x)(4x400)因为x280，所以y808280648.当且仅当x，即x40时取等号，此时20，ymax648.即当矩形温室的相邻边长分别为40 m,20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m2.