1、第三章31.3 概率的基本性质思路方法技巧命题方向1互斥事件的概念例1 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件(1)恰有一名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生解析 判别两个事件是否互斥，就是考查它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考查它们是否必有一个发生且只有一个发生(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有两名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件(2)因为“恰有两名
2、男生”发生时，“至少有一名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件(3)因为“至少有一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立(4)由于选出的是“一名男生一名女生”时，“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件点评 判断两个互斥事件是否对立要依据试验的条件，考虑事件关系必须先考虑条件本题条件若改成“某小组有3名男生1名女生，任取2人”，则“恰有1名男生”与“恰有2名男生”便是对立事件判断下列每对事件是否为互斥事件(1)将一枚硬币抛掷两次，事件A：两次出现正面，事件B：只有一次出现正面(2)某人射击一次，事件A：中
3、靶，事件B：射中9环(3)某人射击一次，事件A：射中环数大于5，事件B：射中环数小于5.解析(1)若“两次出现正面”发生，则“只有一次出现正面”不发生，反之亦然，即事件A与B不可能同时发生，A，B互斥(2)某人射击一次中靶不一定击中9环，但击中9环一定中靶，即B发生则A一定发生，A，B不互斥(3)A，B互斥.命题方向2对立事件的概念例2 抛掷一个骰子，用图形画出下列每对事件所含结果所形成的集合之间的关系，并说明二者之间是否构成对立事件(1)“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”；(2)“朝上的一面数字不大于4”与“朝上的一面的数字大于4”分析 对立事件的含义是：两个事件在一次试验中有且
4、仅有一个发生，类比集合可用Venn图揭示事件之间的关系解析(1)根据题意作出Venn图从图(1)中可以看到：“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”各自所含结果所组成的集合互为补集，因此它们构成对立事件(2)根据题意作出Venn图从图(2)中可以看到：“朝上的一面的数字不大于4”与“朝上的一面的数字大于4”各自所含结果组成的集合互为补集，它们构成对立事件袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球在上述事件中，是对立事件的为()A B C D答案 B解析“至少有一个白球”和“全是黑
5、球”不可能同时发生，且必有一个发生.命题方向3事件的运算 事件间运算的类型与方法：(1)事件间运算的类型：(2)事件间运算方法：利用事件间运算的定义列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算利用Venn图借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算例3 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取三个球，设事件A3个球中有1个红球，2个白球，事件B3个球中有2个红球，1个白球，事件C3个球中至少有1个红球，事件D3个球中既有红球又有白球问：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？分析
6、由题目可获取以下主要信息：在同一条件下产生的不同的试验结果；在事件间进行运算解答本题时要抓住运算的定义解析(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故DAB.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球，故CAA.警误区 在解答(1)时，易出现如下错误：认为AD，BD，出现该错误的原因是没有真正理解题意，没有理解条件D所包含的几种情况在某大学数学系图书室中任选一本书设A数学书；B中文版的书；C2010年后出版的书问：(1)AB C 表示什么事件？(2)在什么条件下有ABCA?(3)C B表示什么意思？(4)若 A B，是否意味着图书室中数
7、学书都不是中文版的？分析 本题主要考查事件的关系与运算，解题的关键是弄清事件的关系与运算解析(1)AB C 2010年或2010年前出版的中文版的数学书(2)在“图书室中所有的数学书都是2010年后出版的且为中文版”的条件下才有ABCA.(3)CB表示2010年或2010年前出版的书全是中文版的(4)是.A B意味着图书室中非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书同时 A B又可等价成BA，因而也可解释为：图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有外文版的书都是数学书建模应用引路命题方向4求互斥、对立事件的概率 1.复杂事件概率的求解方法：(1)将所求事件转化为彼此互斥的若干个事
8、件的和，利用概率的加法公式求解在将事件拆分成若干个互斥事件时，注意不能重复和遗漏(2)若(1)中所要拆分的事件非常繁琐，而其对立事件较为简单，可先求其对立事件的概率，再运用公式求解但是一定要找准其对立事件，避免错误2互斥事件的概率加法公式应用：(1)将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件，分别求出各个事件的概率然后用加法公式求出结果.(2)运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏.特别提醒 运用互斥事件的概率公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和例4 一盒中装有各色球12只，其中
9、5红、4黑、2白、1绿，从中取1球求：(1)取出球的颜色是红或黑的概率；(2)取出球的颜色是红或黑或白的概率解析 方法1：(1)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有549种不同取法，任取一球有12种取法任取1球得红球或黑球的概率为P1 91234.(2)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种方法，得白球有2种取法，从而得红或黑或白球的概率为P2542121112.方法2：利用互斥事件求概率记事件A1：从12只球中任取1球得红球；A2：从中任取1球得黑球；A3：从中任取1球得白球；A4：从中任取1球得绿球，则P(A1)512，P(A2)412，P(
10、A3)212，P(A4)112.根据题意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件概率得(1)取出红球或黑球的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2)512 41234；(2)取出红或黑或白球的概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)512 412 2121112.根据题意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件概率得(1)取出红球或黑球的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2)512 41234；(2)取出红或黑或白球的概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)512 412 2121112.根据题意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件概率得(1)取出
11、红球或黑球的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2)512 41234；(2)取出红或黑或白球的概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)512 412 2121112.方法3：利用对立事件求概率(1)由方法2，取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即A1A2的对立事件为A3A4，取出红球或黑球的概率为P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1 212 112 91234.(2)A1A2A3的对立事件为A4.P(A1A2A3)1P(A4)1 1121112即为所求某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，
12、计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率解析(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件“射中10环或7环”的事件为AB.故P(AB)P(A)P(B)0.210.280.49.射中10环或7环的概率为0.49.(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面为大于等于7环，即7环、8环、9环、10环，由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理设“不够7
13、环”为事件E，则事件 E 为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”、“射中8环”、“射中9环”、“射中10环”是彼此互斥的事件，P(E)0.210.230.250.280.97，从而P(E)1P(E)10.970.03.不够7环的概率为0.03.名师辩误做答例5 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是16，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(AB)错解 设向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点分别记为事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，则它们两两是互斥事件，且AC1C3C5，BC1C2C3.
14、P(C1)P(C2)P(C3)P(C4)P(C5)P(C6)16.则P(A)P(C1C3C5)P(C1)P(C3)P(C5)16161612.P(B)P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)16161612.故P(AB)P(A)P(B)12121.错因分析 错解的原因在于忽视了“事件和”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用公式P(AB)P(A)P(B)求解正解 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥则ABA1A2A3A4.故P(AB)P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)1616161623.