1、四十空间向量及其运算(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x等于()A(0,3，6)B(0,6，20)C(0,6，6)D(6,6，6)B解析：由bx2a，得x4a2b(8,12，16)(8，6，4)(0,6，20)2O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点()A一定不共面 B一定共面C不一定共面 D无法判断B解析：因为，且1，所以P，A，B，C四点共面3已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()Aa2 Ba2 Ca2 Da2C解析：()()(a2cos 60a2cos 60)a2.故选
2、C.4若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为()A30B60 C120D150C解析：因为(2ab)b0，所以 2abb20，所以2|a|b|cos |b|20.又因为|a|b|0，所以cos ，所以120.5已知A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，M为BC中点，则AMD是()A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D不确定C解析：因为M为BC中点，所以()，所以()0.所以AMAD，AMD为直角三角形6在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则点M的坐标是_(0，1,0)解析：设M(0，y,0
3、)，则(1，y，2)，(1，3y,1)，由题意知|，所以12y22212(3y)212，解得y1，故M(0，1,0)7在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，则易得(2，2,1)，(2,2，1)，所以cos，所以sin，.8已知空间中三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3，0,4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值解：(1)因为c，(3,0,4)(1,1,2)(2，1,2)，所以cmm(2，1,2)(2m，m,2m)，所以|c|
4、3|m|3，所以m1.所以c(2，1,2)或(2,1，2)(2)因为a(1,1,0)，b(1,0,2)，所以ab(1,1,0)(1,0,2)1.又因为|a|，|b|，所以cosa，b，故向量a与向量b的夹角的余弦值为.9如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBFx，其中0xa，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1FC1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：.(1)解：E(a，x,0)，F(ax，a,0)(2)证明：因为A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，所以(x，a，a)，(a，xa，
5、a)，所以axa(xa)a20，所以，所以A1FC1E.(3)证明：因为A1，E，F，C1四点共面，所以，共面选与为平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a,0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，所以解得1，21.于是.B组新高考培优练10(多选题)在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列判断正确的是()A()232B()0C向量与向量的夹角是60D正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|AB解析：选项A中，()222232，故选项A正确；选项B中，因为AB1A1C，所以()0，故选项B正确；选项C中，两异面直线A1B与AD1所成的角
6、为60，但与的夹角为120，故选项C不正确；选项D中，|0，故选项D不正确11(2021湖北重点高中联考)在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC2，D是BC的中点若AA1，则异面直线A1C与AD所成角的大小为()A30B45 C60D90C解析：(方法一)如图，取B1C1的中点D1，连接A1D1，则ADA1D1，所以异面直线A1C与AD所成的角就是A1C与A1D1所成的角，即CA1D1(或其补角)就是异面直线A1C与AD所成的角连接D1C，因为A1B1A1C1，所以A1D1B1C1，又A1D1CC1，B1C1CC1C1，所以A1D1平面BCC1B1.因为D1C平
7、面BCC1B1，所以A1D1D1C，所以A1D1C为直角三角形，在RtA1CD1 中，A1C2，CD1，所以CA1D160.故选C.(方法二)以A为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，则A1(0,0，)，A(0,0,0)因为ABC为等腰直角三角形，且斜边BC2，所以ABAC，所以B(，0,0)，C(0，0)又D为BC的中点，所以D，所以，易知(0，)设异面直线AD与A1C所成角的大小为，则cos |cos，|.又090，所以60，即异面直线AD与A1C所成角的大小为60.故选C.12如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E为PB的中点，cos，.若以DA，DC，DP所在直线分别为x轴
8、、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为()A(1,1,1) BCD(1,1,2)A解析：设PDa(a0)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E.所以(0,0，a)，.由cos，所以，所以a2.所以E的坐标为(1,1,1)故选A.13ABC的顶点分别为A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边上的高BD_.5解析：设，D(x，y，z)，则(x1，y1，z2)(0,4，3)，所以x1，y41，z23，所以D(1,41,23)，所以(4,45，3)因为0，所以4(45)3(3)0，解得，所以，所以|5.14如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，
9、N分别在AC1和BC上，且满足k，k(0k1)(1)向量是否与向量，共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解：(1)因为k，k，所以kkk()k()kkk()(1k)k.由共面向量定理知向量与向量，共面(2)当k0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内；当0k1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知与，共面，所以MN平面ABB1A1.综上，当k0时，MN在平面ABB1A1内当0k1时，MN平面ABB1A1.15如图，在平行四边形ABCD中，ABACCD1，ACD90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求BD的长解：因为AB与CD成60角，所以，60或120.又因为ABACCD1，ACCD，ACAB，所以|，所以|2或.所以BD的长为2或.
