1、课时跟踪检测（五） 公理4及等角定理一、基本能力达标1分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A相交B异面C异面或相交 D平行解析：选C如图，有相交或异面两种情况2在三棱锥S ABC中，与SA是异面直线的是()ASB BSCCBC DAB解析：选C如图所示，SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线3已知ABPQ，BCQR，ABC30，则PQR等于()A30B30或150C150D以上结论都不对解析：选BABC的两边与 PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同PQR30或150.4若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个
2、三角形()A全等 B相似C仅有一个角相等 D无法判断解析：选B由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似5一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A平行或异面 B相交或异面C异面 D相交解析：选B假设a与b是异面直线，而ca，则c显然与b不平行(否则cb，则有ab，矛盾)c与b可能相交或异面6如果两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥所在的12条直线中，异面直线共有_对解析：六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有4624(对)答案：247在空间四边形ABCD中，如图所示，则EH与FG的位置关系是_
3、解析：如图，连接BD，在ABD中，则EHBD，同理可得FGBD.EHFG.答案：平行8已知ABC120，异面直线MN，PQ其中MNAB，PQBC，则异面直线MN与PQ所成的角为_解析：结合等角定理及异面直线所成角的范围可知，异面直线MN与PQ所成的角为60.答案：609如图所示，OA，OB，OC为不共面的三条射线，点A1，B1，C1分别是OA，OB，OC上的点，且成立求证：A1B1C1ABC.证明：在OAB中，因为，所以A1B1AB.同理可证A1C1AC，B1C1BC.所以C1A1B1CAB，A1B1C1ABC.所以A1B1C1ABC.10如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中的平面A1
4、B1C1D1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由解：如图所示，在平面A1B1C1D1内过P作直线EFB1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求理由：因为EFB1C1，BCB1C1，所以EFBC.二、综合能力提升1如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A相交B平行C异面而且垂直 D异面但不垂直解析：选D将展开图还原为正方体，如图所示，故AB与CD为不垂直的异面直线2一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A相交 B异面C相交或异面 D平行解析：选C如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1
5、与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面3异面直线a，b，有a，b且c，则直线c与a，b的关系是()Ac与a，b都相交Bc与a，b都不相交Cc至多与a，b中的一条相交Dc至少与a，b中的一条相交解析：选D若c与a，b都不相交，c与a在内，ac.又c与b都在内，bc.由公理4，可知ab，与已知条件矛盾如图，只有以下三种情况4空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A空间四边形 B矩形C菱形 D正方形解析：选B如图，易证四边形EFGH为平行四边形又E，F分别为AB，BC的中点，EFAC，同理可得FGBD
6、，EFG或其补角为AC与BD所成的角而AC与BD所成的角为90，EFG90，故四边形EFGH为矩形5.如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥ADEF，则HG与IJ所成角的大小为_解析：如图所示，在三棱锥ADEF中，因为G，H，I，J分别为AF，AD，AE，DE的中点，所以IJAD，HGDF，故HG与IJ所成角与AD与DF所成角相等显然AD与DF所成的角的大小为60，所以HG与IJ所成角的大小为60.答案：606已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：若ab，bc，则ac；
7、若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线；若a，b与c成等角，则ab.其中正确的说法是_(填序号)解析：由公理4知正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可能相交、平行，也可能异面，故不正确；当a平面，b平面时，a与b可能平行、相交或异面，故不正确；当a，b与c成等角时，a与b可能相交、平行，也可能异面，故不正确答案：7如图所示，空间四边形ABCD中，两条对边ABCD3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且，EF，求AB和CD所成的角的大小解：如图，过E作EOAB，交BD于点O，连接OF，所以，所以，所以OFCD.所以EOF(或其补角)是AB和C
8、D所成的角在EOF中，OEAB2，OFCD1，又EF，所以EF2OE2OF2，所以EOF90.即异面直线AB和CD所成的角为90.探究应用题8在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形且ABBC2，ABC120，若异面直线A1B和AD1所成的角为90，试求AA1.解：连接CD1，AC，由题意得四棱柱ABCDA1B1C1D1中A1D1BC，A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BCD1，所以AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角，因为异面直线A1B和AD1所成的角为90，所以AD1C90，因为四棱柱ABCDA1B1C1D1中ABBC2，所以ACD1是等腰直角三角形所以AD1AC.又底面ABCD是菱形且ABBC2，ABC120，所以AC2sin 6026，AD1AC3，所以AA1.