1、广东省珠海市实验中学、东莞六中、河源高级中学三校2020届高三数学下学期第一次联考试题 文（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合，集合，则=（ ） A. B. 或C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解一元二次不等式求出集合，然后求两集合的公共部分可得结果【详解】由，得，从而有，所以，故选：D.【点睛】此题考查解一元二次不等式和集合的交集运算，属于基础题2.已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数在复平面内对应的点的坐标为，可以确定，再由复数代数形式的除法运算化简，即可得
2、答案.【详解】由题意知复数，则，故选：D.【点睛】本小题考查复数的几何意义，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想.3.已知向量，（其中为实数），则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】由，则，所以；而当，则，解得或.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.4.已知等差数列前项
3、和为，且，则（ ）A. 27B. C. 9D. 3【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质，可得，结合求和公式可得结果.【详解】因为为等差数列，所以，解得，所以，故选：A.【点睛】本小题考查等差数列的性质，前项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，应用意识.5.将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果在区间上单调递减，那么实数的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件先求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.【详解】将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，则，设，则当时，即，要使在区间上单调递减，则得，得，即实数最
4、大值为，故选：B.【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.6.圆关于直线对称，则的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据圆的对称性得出，结合基本不等式，即可得出答案.【详解】圆的圆心坐标为因为圆关于直线对称所以直线经过圆心，即当且仅当，即时取等号故选：C【点睛】本题主要考查了圆的对称性的应用以及基本不等式的应用，属于中档题.7.标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化
5、大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（）( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对取对数，利用对数的运算求解即可.【详解】可得：则，分析选项可得：B中的与其最接近故选：B【点睛】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于中档题.8.函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先分析抽象函数奇偶性，判断为奇函数，排除C、D选项；再判断区间上函数取值的正负，即可排除B选项，得到正确结论.【详解】由题意知，即函数为奇函数，排除C、D选项；取，排除B选项.故选：A.【点睛】抽象函数的图像判断，用排除法，利用函数奇偶性、函数值正负的排除错误选项.
6、9.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”也把这种方法称为“三斜求积术”，设的内角，的对边分别为，则.若，则用“三斜求积术”求得的的面积为（ ）A. B. 2C. D. 4【答案】A【解析】【分析】由可得，然后由余弦定理可得，代入即可求出的面积【详解】因为所以，即由余弦定理可得所以所以故选：A【点睛】本题考查的是正余弦定理的应用，较简单.10.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点在正视图上的对应点为，点在俯视图上的对应点为，则与所成角的余
7、弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图知该几何体是直四棱锥，找出异面直线PA与BC所成的角，再计算所成角的余弦值【详解】由三视图知，该几何体是直四棱锥PABCD，且PD平面ABCD，如图所示；取CD的中点M，连接AM、PM，则AMBC，PAM或其补角是异面直线PA与BC所成的角，PAM中，PA2，AMPM，cosPAM，又异面直线所成角为锐角即PA与BC所成角的余弦值为故选B【点睛】本题考查了异面直线所成的角计算问题，可以根据定义法找角再求值，也可以用空间向量法计算，是基础题11.已知点为抛物线上动点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（ ）A. B.
8、 C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的定义,得=,再利用两点之间连线段最短可得.【详解】如图所示:设抛物线的焦点为,则,因为,当且仅当三点共线,且在线段上时,取得等号.故选:B【点睛】本题考查了抛物线的定义,属于基础题.12.在正方体中边长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为,则此时点构成的图形面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】解：如下图所示，设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，则点在线段上，由于正方体的棱长为2，则的外接圆的半径为，设球的半径为，则，解得所以，则，易知，点在上底面所形成的轨迹是以为圆心的圆，由于，所以，因此，点所构
9、成的图形的面积为故选：点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知x，y满足不等式组，则z=x+2y的最小值是_.【答案】1【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求出的最小值.【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，显然z=x+2y
10、在点(1，0)处取得最小值，即z=x+2y的最小值为1.故答案为：1.【点睛】此题考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合图形是解决本题的关键，属于基础题.14.已知等比数列的各项都为正数，且，成等差数列，则的值是_【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为，且，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出，再由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值【详解】设等比数列的公比为，且，因为，成等差数列，所以，则，化简得，解得，所以【点睛】本题主要考查等差中项的性质以及等比数列的通项公式，属于一般题15.若函数f（x）x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a
11、的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：函数定义域为，导函数为，使得存在垂直于y轴的切线，即有解，可得有解，因为，所以，当且仅当“时等号成立，所以实数a的取值范围是考点：导数的应用16.如图，在平面直角坐标系，中心在原点的椭圆与双曲线交于四点，且它们具有相同的焦点，点分别在上，则椭圆与双曲线离心率之积_.【答案】1【解析】分析】设出椭圆和双曲线方程，以及点，由点既在椭圆上也在双曲线上，化简得出，结合离心率公式即可得出.【详解】设椭圆和双曲线方程分别为，设点，由点既在椭圆上也在双曲线上，则有，解得，解得则，即故答案为：1【点睛】本题主要考查了求椭圆和双曲线的离心率，考查了运算能力， 属于中档题.
12、三、解答题：共70分，第17-21题为必考题，第22-23题为选考题一、必考题，共60分.17.已知数列的前项和，数列满足.（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据当时，可以求出数列的通项公式，再验证当时，首项是否适合；再根据，结合对数与指数互化公式进行求解即可；（2）化简数列的通项公式，利用分组求和的方法，结合等比数列前项和、裂项相消法进行求解即可.【详解】（1）由，当时，时，对上式也成立，；又，.（2），.【点睛】本题考查了已知数列前项和求通项公式，考查了分组求和法，考查了裂项相消法，考查了数学运算能力.18.如图，在直三棱柱ABC
13、-A1B1C1中，AB=AC=，BC=AA1=2，O，M分别为BC，AA1的中点.（1）求证：OM平面CB1A1；（2）求点M到平面CB1A1的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接BC1，交CB1于点N，则N为CB1的中点，连接ON，可得ONBB1，再结合ON=MA1，可得四边形ONA1M为平行四边形，则有OMNA1，再由线面平行的判定可证得OM平面CB1A1；（2）由OM平面CB1A1，可知点M到平面CB1A1的距离等于点O到平面CB1A1的距离，然后利用等积法可求解.【详解】（1）如图，连接BC1，交CB1于点N，连接A1N，ON.则N为CB1的中点，又O为BC的
14、中点，ONBB1，且ON=BB1，又M为AA1的中点，MA1BB1，且MA1=BB1，ONMA1且ON=MA1，四边形ONA1M为平行四边形，OMNA1，又NA1平面CB1A1，OM平面CB1A1，OM平面CB1A1.（2）如图，连接AO，OB1，AB1.AB=AC，O为BC的中点，AOBC，又直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面CBB1C1平面ABC，AO平面CBB1C1.由（1）可知OM平面CB1A1，点M到平面CB1A1的距离等于点O到平面CB1A1的距离，设其为d，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，由AB=AC=，BC=AA1=2可得，AO=1，A1B1=，A1C=，B1C=，CB1A
15、1是直角三角形，且.由得，故d=.即点M到平面CB1A1的距离为.【点睛】此题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，利用了等积求多面体的体积，属于中档题.19.为响应国家“精准扶贫、精准脱贫”的号召，某贫困县在精准推进上下功夫，在精准扶贫上见实效.根据当地气候特点大力发展中医药产业，药用昆虫的使用相应愈来愈多，每年春暖以后到寒冬前，昆虫大量活动与繁殖，易于采取各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数y（单位：个）与一定范围内的温度x（单位：）有关，于是科研人员在3月份的31天中随机选取了5天进行研究，现收集了该种药物昆虫的5组观察数据如表：日期2日7日15日22日30日温度/10
16、1113128产卵数y/个2224292516（1）从这5天中任选2天，记这2天药用昆虫的产卵数分别为m，n，求“事件m，n均不小于24”的概率？（2）科研人员确定的研究方案是：先从这5组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.若选取的是3月2日与3月30日这2组数据，请根据3月7日、15日和22日这三组数据，求出y关于x的线性回归方程？若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问中所得的线性回归方程是否可靠？附公式：，【答案】（1）；（2）；见解析【解析】【分析】（1）用列举法以及古典
17、概型的概率公式，求解即可；（2）根据3月7日、15日和22日这三组数据，分别计算出其平均值，结合参考公式求出回归直线方程；将3月2日与3月30日的中的温度代入方程，得出线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值，看是否超过2，再判断即可.【详解】（1）依题意得的所有情况为，共有10种设“m，n均不小于24”为事件，则事件包含的基本事件为，共有3个，即“事件m，n均不小于24”的概率为（2）由数据可得，所以y关于x的线性回归方程为由可得y关于x的线性回归方程为当时，当时，所以线性回归方程是可靠的.【点睛】本题主要考查了求线性回归方程以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.20.已知
18、椭圆：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，（1）求的方程：（2）如图所示，过右焦点F2的直线1交椭圆于A，B两点，连接AO交于点C，求ABC面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意及，即可求得的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线的斜率存在，设直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及弦长公式求得，表示出的面积，化简即可求得面积的最大值【详解】（1）因为椭圆C的短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，所以bc，Sa22，则，bc1，故椭圆的方程；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为yk（x1），联
19、立方程组，消去y，整理得（1+2k2）x24k2x+2k220，设A（x1，y1），B（x2，y2），得，所以，点O到直线kxyk0的距离，因为O到线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为，所以ABC面积，当直线AB的斜率不存在时不妨取，故ABC面积为，综上，当直线AB的斜率不存在时，ABC面积的最大值为【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积的最值计算有关问题的求解，考查运算求解能力，属于难题.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
20、当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.【解析】【分析】（1）求导，对参数进行分类讨论，求得不同情况下的单调性即可；（2）根据题意构造函数，将问题转化为求解该函数最大值的问题，进而利用导数研究其单调性求得结果即可.【详解】（1）.令，则，当时，在上，在上，的单调递减区间为，单调递增区间为.当时，在上，在上，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由，得，即.设，则恒成立，即.，因为，则在上，在上，在上单调递增，在上单调递减.存在，使得成立，则.令，在上，在上，在上单调递减，在上单调递增.的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，以及利用导数处理恒成立问题的能力，属综合
21、性中档题.二、选考题，共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.若多做，则按所做第一题给分.极坐标与参数方程22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设曲线与曲线的交点分别为，求的最大值及此时直线的倾斜角.【答案】（1）（2）最大值为8，此时直线的倾斜角为【解析】【分析】（1）先将曲线的参数方程化为代数方程，再将此平面直角坐标系的代数方程化为极坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的代数方程，得出当取最大值时直线的参数.【详解】（1）因为曲线的参数方程为，所以曲线的普
22、通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为，即.（2）设直线上的点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程，可得，即所以，.故，所以当，即时，取得最大值，最大值为8，此时直线的倾斜角为.【点睛】本题考查曲线的参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数的几何意义，考查考生的运算求解能力。不等式选讲23.设函数.（1）当时，求函数的定义域；（2）若函数的定义域为R，求a的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式，即可得出函数的定义域；（2）由题意可得恒成立，利用绝对值三角不等式得出的最小值为，解不等式，即可得出a的取值范围.【详解】（1）当时，若函数有意义，则，即或或，解得则函数的定义域为（2）若函数的定义域为R，则恒成立由于解得或【点睛】本题主要考查了分类讨论解绝对值不等式以及绝对值三角不等式的应用，属于中档题.