1、13.3空间图形的表面积和体积13.3.1空间图形的表面积学 习 任 务核 心 素 养1了解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的几何特征(重点)2了解柱、锥、台的表面积的计算公式(易错点)3会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积(重点、难点)1通过对柱、锥、台的侧面展开，培养直观想象素养2通过利用柱、锥、台的侧面积和表面积计算公式，培养数学运算素养1在下图中，哪些图形是空间图形的展开图？2下图中分别是哪些空间图形的侧面展开图？知识点1几种特殊的多面体(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫作正棱柱(3)正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶
2、点在底面的射影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥正棱锥的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)棱长都相等的长方体是正方体()(2)有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱()(3)有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱()(4)底面为菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱()答案(1)(2)(3)(4)知识点2几种简单空间图形的侧面展开图与侧面积空间图形直观图侧面展开图侧面积直(正)棱柱S直(正)棱柱侧ch正棱锥S正棱锥侧ch正棱台S正棱台侧(cc)h圆柱S圆柱侧cl2
3、rl圆锥S圆锥侧clrl圆台S圆台侧(cc)l(rr)l圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系？提示S圆柱侧2rlS圆台侧(rr)lS圆锥侧rl2正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积为_a2如图，在正三棱锥SABC中，过点S作SO平面ABC于O点，则O为ABC的中心，连接AO并延长与BC相交于点M，连接SM，SM即为斜高h，在RtSMO中，h a，所以侧面积S3aaa23以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于_2以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r1，高h1，所以侧面积S2rh2 类型1棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积【例1】
4、正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3 cm，求它的表面积由S侧与S底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积.解如图，设PO3(cm)，PE是斜高，S侧2S底，4BCPE2BC2BCPE在RtPOE中，PO3(cm)，OEBCPE9PE2，PE2(cm)S底BC2PE2(2)212(cm2)S侧2S底21224(cm2)S表S底S侧122436(cm2)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱.求解时要注意直角三角形和梯形的应用.跟进训练1已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形
5、，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高解如图所示，在三棱台ABCABC中，O，O分别为上、下底面的中心，D，D分别是BC，BC的中点，则DD是等腰梯形BCCB的高，所以S侧3(2030)DD75DD(cm2)又AB20 cm，AB30 cm，则上、下底面面积之和为S上S下(202302)325(cm2)由S侧S上S下，得75DD325，所以DD (cm)，又因为OD20(cm)，OD305(cm)，所以棱台的高hOO4(cm) 类型2圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积【例2】已知圆锥的底面半径为R，高为3R若它的内接圆柱的底面半径为R，求该圆柱的全面积解设圆柱底面半径为r，高为h，由题意
6、知rR，hR，S圆柱全2r22rh22R21圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中相关量是求解旋转体表面积的关键2解决柱体、锥体、台体、球体中的接、切问题，通常是作出轴截面，转化为平面问题来求解跟进训练2圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180，那么圆台的表面积是多少？解如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180，故cSA210，所以SA20(cm)，同理可得SB40(cm)，所以ABSBSA20(cm)，所以S表面积S侧S上S下(r1r2)ABrr(1020)201022021 100(cm2)故圆
7、台的表面积为1 100 cm2 类型3空间图形侧面积和全面积的实际应用【例3】用油漆涂100个圆台形水桶(桶内、外侧都要涂)，桶口直径为30 cm，桶底直径为25 cm，母线长是27.5 cm，已知每平方米需要油漆150 g，共需要多少油漆？(精确到0.1 kg)解每个水桶需要涂油漆的面积为S(S桶底S侧)220.182 5(m2)，因此100个水桶需要油漆1000.182 50.158.6(kg)对于有关空间图形侧面积和全面积的实际问题，求解的关键是把题设信息数学化，然后借助数学知识解决该问题跟进训练3一个正三棱台的两底面的边长分别为8 cm、18 cm，侧棱长是13 cm，求它的全面积解上
8、底面周长为c3824(cm)，下底面周长c31854(cm)，斜高h12(cm)，所以S正棱台侧(cc)h(2454)12468(cm2)，S上底面8216(cm2)，S下底面18281(cm2)，所以正三棱台的全面积为S468168146897 cm21圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于()A42 B51 C58 D67DS圆台表S圆台侧S上底S下底(34)63242672在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S()A2 600 cm2 B5 200 cm2C2 600 cm2 D5 200
9、 cm2C几何体的50 cm到80 cm处的截去的部分的面积和余下的面积相等，将几何体侧面展开，上部分面积为40，下部分的面积为5040 ，由此可知，斜截圆柱的侧面面积S5040402 600，故选C3圆锥的母线长是4，侧面积是4，则该圆锥的高为()A B4 C3 D2A设圆锥的母线长l4，底面半径为r，高为h，则rl4，解得r1，所以h故选A4一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为_4S设圆柱的底面半径为R，则SR2，R，底面周长c2R故圆柱的侧面积为S圆柱侧c2(2R)2424S5一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m，侧棱长为2.3 m，如果要在
10、屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？(精确到0.1 m2)解如图所示，设SE是侧面三角形ABS的高，则SE就是正四棱锥的斜高在RtSAE中，SA2.3 m，AE1.35 m，所以SE1.86(m)，而底面周长42.710.8(m)，所以S棱锥侧10.81.8610.0(m2)故需要油毡纸约10.0 m2回顾本节知识，自我完成以下问题：1空间几何体的侧面展开图与侧面积之间存在什么关系？提示相等2圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间存在怎样的联系？提示3旋转体的表面积问题通常借助哪些量求解？在求解时常化归到哪些图形中？提示旋转体的表面积问题常借助底面半径、母线长及高求解，求解时常借助轴截面化归到等腰三角形、矩形或等腰梯形中求解