1、第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A级基础巩固一、选择题1下列推理是归纳推理的是()AF1，F2为定点，动点P满足|PF1|PF2|2a|F1F2|，得P的轨迹为椭圆B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2y2r2的面积r2，猜想出椭圆1的面积SabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理答案：B2根据给出的数塔猜测123 45697等于()192111293111123941 1111 2349511 11112 34596111 111A111 1110B1 111 111C1 1
2、11 112 D1 111 113解析：由19211；1293111；123941 111；1 23495111 111；归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，所以123 456971 111 111.答案：B3观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()解析：观察可发现规律：每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形答案：A4设n是自然数，则(n21)1(1)n的值()A一定是零 B不一定是偶数C一定是偶数 D是整数但不一定是偶数解析：当n为偶数时，(n21)1(1)n0为偶数；当n为奇数时(n2k1，
3、kN)，(n21)1(1)n(4k24k)2k(k1)为偶数所以(n21)1(1)n的值一定为偶数答案：C5在平面直角坐标系内，方程1表示在x轴，y轴上的截距分别为a和b的直线，拓展到空间，在x轴，y轴，z轴上的截距分别为a，b，c(abc0)的平面方程为()A.1 B.1C.1 Daxbycz1解析：从方程1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是1.答案：A二、填空题6已知a11，an1an，且(an1an)22(an1an)10，计算a2，a3，猜想an_解析：计算得a24，a39，所以猜想ann2.答案：n27在平面上，若两个正三角形的边长比为12.则它们的面积比为14.
4、类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为_解析：.答案：188观察下列各式：(x3)3x2；(sin x)cos x；(exex)exex；(xcos x)cos xxsin x.根据其中函数f(x)及其导数f(x)的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是_解析：对于，f(x)x3为奇函数，f(x)3x2为偶函数；对于，g(x)sin x为奇函数，f(x)cos x为偶函数；对于，p(x)exex为奇函数，p(x)exex为偶函数；对于，q(x)xcos x为奇函数，q(x)cos xxsin x为偶函数归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数答案：奇函数的导函数是偶函数
5、三、解答题9有以下三个不等式：(1242)(9252)(1945)2；(6282)(22122)(62812)2；(13252)(10272)(131057)2.请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性结论，并证明你的结论解：一般性结论为(a2b2)(c2d2)(acbd)2.证明：因为(a2b2)(c2d2)(acbd)2a2c2b2c2a2d2b2d2(a2c22abcdb2d2)b2c2a2d22abcd(bcad)20，所以(a2b2)(c2d2)(acbd)2.10如图所示，在ABC中，射影定理可表示为abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写
6、出对空间四面体性质的猜想解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为SS1cos S2cos S3cos .B级能力提升1用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为()A6n2 B8n2C6n2 D8n2解析：从可以看出，从图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n2.答案：C2等差数
7、列an中，an0，公差d0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，q1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系_解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4b8b5b7.答案：b4b8b5b73观察下列等式：sin210cos240sin 10cos 40；sin26cos236sin6cos36.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想解：由知，两角相差30，运算结果为，猜想：sin2cos2(30)sin cos(30).证明：左边sin cos(30)1sin 1cos 2cos 2sin 2sin 2右边故sin2cos2(30)sin cos(30).