1、吉林省白城市洮北区第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）1.抛物线的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】即,焦点在轴负半轴上，所以焦点坐标为.故选C.2.下列命题中为真命题的是()A. 命题“若，则”的逆命题B. 命题“，则”的否命题C. 命题“若，则”的否命题D. 命题“若，则”的逆否命题【答案】A【解析】命题“若,则”的逆命题为“若,则”，所以为真命题；命题“若,则”的否命题为“若,则”，因为-2,但，所以为假命题；命题“若,则”的否命题为
2、“若,则”，因为当时，所以为假命题；命题“若,则”为假命题，所以其逆否命题为假命题，因此选A3.已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为(1，3，z)，向量(3，2,1)与平面平行，则z等于（ ）A. 3B. 6C. 9D. 9【答案】C【解析】【分析】由题意可得，可得，即可得出【详解】由题意可得，解得故选：【点睛】本题考查了线面位置关系、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.已知，那么命题的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】解 : p：x2x0的充要条件为0x0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线l与双曲线的右支有且
3、只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）A. B. (1,2),C. D. 【答案】A【解析】【分析】若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围【详解】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，离心率，故选：【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件10.在椭圆上有一点P，F1、F2是椭圆的左、右焦点，F1PF2为直角三角形，这样的点P有（ ）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个【答案】
4、C【解析】【分析】由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点对、张开的角最大，可得当轴或轴时，也满足题意即可得出【详解】由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点对、张开的角最大，此时这样的点P有两个；当轴或轴时，也满足题意这样的点P有4个；因此为直角三角形，则这样的点有6个故选：C【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11.设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，当F1PF2的面积为时，的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】求得双曲线的焦点坐标，利用的面积为，确定的坐标，运用两点的距离公式，即可求得结论【详解】双曲线的两个
5、焦点坐标为，设的坐标为，则的面积为，代入双曲线方程解得，不妨取，故选：【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查两点的距离公式，确定的坐标是关键，是中档题12.椭圆C：（ab0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，F1A与y轴相交于点D，若BDF1A，则椭圆C的离心率等于（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得，的坐标，且知点为的中点，再由，利用斜率之积等于列式求解【详解】由题意可得，则点为的中点，由，得，即，整理得，解得故选：【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知点
6、是抛物线上的一个动点，则到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为_【答案】.【解析】分析：先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得，再求出的值即可.详解：依题设P在抛物线准线的投影为，抛物线的焦点为F，则，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为，则点P到点的距离与P到该抛物线准线的距离之和，.故答案为：.点睛：本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想.14.命题“x0R, ”为假命题，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题得“x0R, ”为真命题，根据二次函数的图象和性质得到关于的不等式，解不等式即得解.【详解】由题得“
7、x0R, ”为真命题,所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查特称命题的否定，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BADBAA1120，DAA160，则线段AC1的长度是_。【答案】【解析】【分析】利用，即可求解【详解】，故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平16.已知是抛物线的焦点，过且斜率为的直线交于两点设，则的值等于 【答案】【解析】试题分析：F（1,0），设A（x1，y1）B（x2，y2）由整理得3x2-10x+3=0，所以x1=3，x2=，（x1x2）由抛物线的定
8、义知=，故答案为3。考点：本题主要考查抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系。点评：中档题，涉及直线与抛物线的位置关系，由于曲线方程已确定，所以通过解方程组，得到点的坐标，利用抛物线的定义，得到线段长度得解。三、解答题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.设命题p：实数x满足，其中；命题q：实数x满足若，且为真，求实数x的取值范围若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】若，分别求出p，q成立的等价条件，利用为真，求实数x的取值范围；利用是的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围【详解】由得，
9、其中，得，则p：，由解得即q：若，则p：，若为真，则p，q同时为真，即，解得，实数x的取值范围若是的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，即，解得【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将是的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键18.已知双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点(46)(1)求双曲线方程； (2)若双曲线的左，右焦点分别是F1，F2，试问在双曲线上是否存在点P，使得|PF1|5|PF2|.请说明理由.【答案】（1）；（2）不存在【解析】【分析】（1）由题得，解方程组即得双曲线方程；（2）假设在双曲线上存在点P，使得|PF1|5|
10、PF2|，则点P只能在右支上先求出|PF1|5，|PF2|1，分析得到此种情况不存在.【详解】(1)椭圆的焦点在x轴上，且，即焦点为(4,0)，于是可设双曲线方程为，则有解得a24，b212，故双曲线方程为.(2)假设在双曲线上存在点P，使得|PF1|5|PF2|，则点P只能在右支上由于在双曲线中，由双曲线定义知，|PF1|-5|PF2|2a4，于是得|PF1|5，|PF2|1.但当点P在双曲线右支上时，点P到左焦点F1的距离的最小值应为ac6，故不可能有|PF1|5，即在双曲线上不存在点P，使得|PF1|5|PF2|【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程的求法，考查双曲线的定义和简单几何性质，
11、意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知定点A(a,0)，其中0a3，它到椭圆上点的距离的最小值为1，求的值【答案】2【解析】【分析】设椭圆上任一点为P(x，y)(3x3)，求出|PA|的解析式，再利用二次函数的性质分析解答得解.【详解】设椭圆上任一点P(x，y)(3x3)，则，当时，有.当时，得 (舍)，当时，有，当且仅当x3时， 故a2或a4(舍)，综上得a2.【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查函数的最值的求法，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20. 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,B=C=
12、90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30的角.求证:(1)CM平面PAD.(2)平面PAB平面PAD.【答案】见解析【解析】建立空间直角坐标系.(1)可证明与平面PAD法向量垂直;也可将分解为平面PAD内的两个向量的线性组合,利用共面向量定理证明.(2)取AP中点E,利用向量证明BE平面PAD即可.【证明】由题意可知:以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD,PBC为PB与平面ABCD所成的角,PBC=30.PC=2,BC=2,PB=4.D(0,1,0),B(2,0,0
13、),A(2,4,0),P(0,0,2),M(,0,),=(0,-1,2),=(2,3,0),=(,0,).(1)方法一:令n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则即令y=2,得n=(-,2,1).n=-+20+1=0,n.又CM平面PAD,CM平面PAD.方法二:=(0,1,-2),=(2,4,-2),假设平面PAD,则存在x0,y0使=x0+y0,则方程组的解为=-+.由共面向量定理知与,共面,故假设成立.又CM平面PADCM平面PAD.(2)取AP的中点E,连接BE,则E(,2,1),=(-,2,1).易知PB=AB,BEPA.又=(-,2,1)(2,3,0)=0,BEDA.又PAD
14、A=A,BE平面PAD.又BE平面PAB,平面PAB平面PAD.21.已知动圆恒过点，且与直线：相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）探究在曲线上，是否存在异于原点的两点，当时，直线恒过定点？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）轨迹方程为；（2）直线过定点.【解析】(1)因为动圆M,过点F且与直线相切, 所以圆心M到F的距离等于到直线的距离.根据抛物线的定义可以确定点M的轨迹是抛物线，易求其方程.（II）本小题属于存在性命题，先假设存在A,B在上, 直线AB的方程:,即AB的方程为,然后根据,AB的方程为,从而可确定其所过定点.解：(1) 因为动圆M,过点F且与直线
15、相切,所以圆心M到F的距离等于到直线的距离. 2分所以,点M的轨迹是以F为焦点,为准线的抛物线,且, 4分所以所求的轨迹方程为6分(2) 假设存在A,B在上, 7分直线AB的方程:, 9分即AB的方程为:, 10分即11分又AB的方程为，12分令,得，所以,无论为何值,直线AB过定点(4,0) 14分22.已知椭圆的离心率为，且经过点P，过它的左、右焦点分别作直线l1和12.l1交椭圆于A.两点，l2交椭圆于C,D两点， 且(1)求椭圆的标准方程.(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题得关于的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程;（2）当与中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，求出此时四边形的面积；若与的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为求出，再利用基本不等式求S的取值范围.【详解】（1）由得，所以，将点P的坐标代入椭圆方程得， 故所求椭圆方程为.（2）当与中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积为，若与的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为直线的方程为，设，联立，消去整理得，同理得， 所以，令，(当且仅当t=1时取到等号)综上可知，四边形面积的.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查利用基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系和面积的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
