1、第六节 抛物线数学_高中_北师大版_选修2-1 学习目标【教材知识精梳理】1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线:(1)在平面内.(2)与一个定点F和一条定直线 l 距离_.(3)l 不经过点F.相等动手实践 P71 画抛物线 Flash FMl这个定点 F 叫作抛物线的焦点，这条定直线 l 叫作抛物线的准线.|MF|d定义：平面内与一个定点 F 和 一条定直线l（l不过F）的距离 相等的点的集合叫作抛物线.理解：(1)定点F-焦点；(2)一条不过该定点F的定直线l-准线；思考：若定点F在定直线l上,那么动点的轨迹是什么图形？是过点F,且与直线l垂直的一条直线.(3)动点M到定点
2、F的距离|MF|；(4)动点M到定直线l的距离d；(5)|MF|=d；(6)动点M的轨迹抛物线.准线方程焦点坐标标准方程图 形 x F O y lx F O y lx F O y lx F O y l220ypxp220ypxp 02p,2px 02p,2px 220 xpyp0 2p,2py 02p，2py 220 xpyp 抛物线的通径：(课本P75)过抛物线的焦点F,垂直于对称轴的直线 与抛物线交于两点A,B,线段AB叫作抛物线 的通径.通径：长度：性质：经过焦点F垂直于对称轴 线段AB2p是抛物线标准方程 中2p的几何意义 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 _(p0)_(p0
3、)_(p0)_(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形 顶点 _ 22ypx22ypx 22xpy22xpy 0 0O,2.抛物线的标准方程与几何性质 对称轴 _ _ 焦点 离心率 e=1 准线 方程 _ _ _ _ 范围 _ _ _ _ 0y,x轴0 x,y轴02pF,02pF,0 2pF,02pF,2px 2px 2py 2py 0 x,yR0 x,yR0y,xR0y,xR2.抛物线的标准方程与几何性质 焦半径(其中P(x0,y0)通径 端点 PF 02px PF 02pxPF 02py PF 02py22p,pp,p22p,pp,p22pp,pp,22pp,pp,1.焦点在 x
4、轴的抛物线统一方程220ypx p2.焦点在 y 轴的抛物线统一方程220 xpy p笔记 求抛物线标准方程的方法（1）定义法 直接利用抛物线的定义求解,注意数形结合的应用.（2）待定系数法 尽管抛物线标准方程有四种，但方程中都只有一 个待定系数，一是利用好参数p的几何意义，二是 给抛物线定好位，即求抛物线方程遵循先定位，后定量的原则.（3）统一方程法 对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为 y2=2px（p0）,p的正负由题目已知条件来定，也就是说，不必设为y2=2px（p0）或y2=-2px（p0）,这样能减少计算量.同理，焦点在y轴上的抛物线标 准方程可统一设为x2=2py（p0）
5、设方程 列方程 得方程 解方程 根据焦点位置，设出标准方程 根据参数p的值，写出所求的标准方程 解关于参数p的方程，求出p的值 根据条件建立关于参数p的方程 求抛物线的标准方程的思路点与抛物线位置关系1.点在抛物线内 200120P x,yypx p点在抛物线的内部20020ypxp 200220P x,yxpy p点在抛物线的内部20020 xpyp2.点在抛物线外 200120P x,yypx p点在抛物线的外部20020ypxp 200220P x,yxpy p点在抛物线的外部20020 xpyp思考交流请说出表达式的几何意义.10 4F,14y xyOM x,y221144xyy221
6、1044xyy几何意义:点M（x,y）到点的距离等于它到直线的距离.10 4,14y 2xy22xpy例1 抛物线 y=ax2的准线方程是 y=2,则a的值为()220 xpy p xOy2y F(A)(B)(C)8 (D)-8 181821xya抛物线可化为0a 220 xpy p 12pa1224pya 准线方程B注意：特值法排除选项为最佳解法.例2 点M到点F(4,0)的距离比它到直线 l：x+6=0的距离小2.求点M的轨迹.mF xoyMl解由题意可得，点M到点F（4,0）的距离等于 它到直线l：x+4=0的距离.所以点M的轨迹是一条以F(4,0)为焦点，x=4为准线的抛物线.所求点M
7、的轨迹方程是8p 216yx（极易考题型）例3 过抛物线y2=4x的焦点,作直线l交抛物线于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|=_.xOyFAB1x PCDE8ABFAFBFAACFBBDABACBD2 PEACBD314PE=28ABPE假设AB的中点为PAFxyO12y Pd解析：经判断，A点在抛物线内.抛物线上点P到焦点F距离等于到 准线l距离d，所以求|PA|+|PF|的 问题可转化为|PA|+d 的问题.例4 已知抛物线 x2=2y的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(2,3),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最 小值时P点坐标.AFxyO12y Pd解：
8、设抛物线上点P到准线l 的 距离为d=|PB|，作PB垂直于准 线l，垂足为B由抛物线定义可得 PBB即|PA|+d 得最小值为 72当P、A、B三点共线时|PA|+d 取最小值.|PA|+|PF|=|PA|+d 2 2P,点P的坐标为 例4 已知抛物线 x2=2y的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(2,3),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最 小值时P点坐标.巩固练习1.根据抛物线的标准方程，说出抛物线的焦点坐标和 准线方程.标准方程焦点坐标准线方程2 0,2x 1024,124x 10 10,110y 405,45y 28yx26 yx 252xy21032xy2.求平面内到点（1,0）的距离和到直线 x=1的距 离相等的点的轨迹.解 因为点(1,0)在直线 x=1上，故所求轨迹是过点(1,0)且垂直于 x=1的直 线,轨迹方程为 y=0.3.已知焦点到准线的距离为3,则抛物线的标准方 程为_.2266yxxy 或4.已知P为抛物线y2=4x上一点,定点A(-1,1),F为抛物线 的焦点,PD垂直于抛物线的准线,垂足为D.求|PD|+|PA|的最小值.24yx1x 1 0F,1 1A,PDPxyPDPF解 PDPAPFPA当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|取最小值 minPFPAAF5|PD|+|PA|的最小值 是 .5