1、江苏省南通市第一中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1.若集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先计算集合M，N，再计算.【详解】集合，.故答案选C【点睛】本题考查集合的并集与一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题型.2.扇形周长为6cm，面积为2cm2，则其圆心角的弧度数是（ ）A. 1或5B. 1或2C. 2或4D. 1或4【答案】D【解析】【分析】利用扇形弧长和面积计算公式完成求解.【详解】设扇形的半径为cm，圆心角为，则解
2、得或故选：D.【点睛】扇形的弧长和面积计算公式：弧长公式：；面积公式：，其中是扇形圆心角弧度数，是扇形的半径.3.函数的定义域为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别计算两部分的定义域，求交集得到答案.【详解】函数，.故答案选B【点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力4.已知函数是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数A. B. 2C. 3D. 2或【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义，求出m的值，代入判断即可【详解】函数是幂函数，解得：或，时，其图象与两坐标轴有交点不合题意，时，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故，故选：A【点睛】本题考查了幂函数的
3、定义，考查常见函数的性质，是一道常规题5.在同一直角坐标系中，函数，的的图象可能是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】就和分类讨论可得正确选项.【详解】解：当时，函数为增函数，且图象变化越来越平缓，的图象为增函数，当时，函数为增函数，且图象变化越来越快，的图象为减函数，综上：只有D符合故选：D【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图像性质，属于基础题.6.已知关于的方程的两个实根为满足则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用二次方程实根分布列式可解得.【详解】设,根据二次方程实根分布可列式:,即,即,解得:.故选D.【点睛】本题考查了二次方
4、程实根分布.属基础题.7.设集合，则集合M与N的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将集合和集合整理后可知集合表示的奇数倍的角，集合表示的整数倍的角，从而得到集合之间的包含关系.【详解】表示所有奇数；表示所有整数 本题正确选项：【点睛】本题考查集合间的包含关系，关键是能够将两个集合所表示的角的大小确定，从而得到包含关系.8.已知函数是奇函数，是偶函数，则（）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】利用奇函数的性质，可以求出的值，由偶函数的性质，可以求出的值，利用对数的运算公式，可以求出的值.【详解】因为函数是奇函数，所以，即，因为是偶函数，所以，因此，故本
5、题选A.【点睛】本题考查了奇偶函数的性质，考查了对数的运算，考查了数学运算能力.9.设函数对的一切实数均有，则（ ）A. B. 2017C. 2018D. 4036【答案】A【解析】【分析】将x换成再构造一个等式，然后消去f（），得到f（x）的解析式，最后可求得f（2019）【详解】f（x）+2f（）6xf（）+2f（x）2得3f（x）6xf（x）2x，f（2019）4038+44034.故选：A【点睛】本题考查了函数解析式的求法，属中档题10.已知为角的终边上的一点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的定义列方程，解方程求得的值，进而求得的值，将所求表
6、达式转化为只含的形式，由此求得表达式的值.【详解】因为，故由正弦函数的定义可得，解得或(舍去),所以，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11.已知单调函数的定义域为，对于定义域内任意，则函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据单调性的性质和零点存在定理，可以求解出函数的零点所在的区间，选出正确答案.【详解】因为函数是定义域为上的单调函数，所以为一定值，设为，即，而，解得，因此，所以，故函数的零点所在的区间为，本题选D.【点睛】本题考查了单调函数的
7、性质，考查了零点存在定理，考查了换元法，对数式正负性的判断是解题的关键.12.已知函数,若对任意使得成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】问题转化为对任意的使得恒成立，令，根据函数的单调性求出的最小值，从而可得结果【详解】对任意的使得成立，即对任意的使得恒成立，令，显然在递增，故的最小值为，故，实数的取值范围为,故选D【点睛】本题主要考查指数函数的单调性的应用，以及不等式恒成立问题，属于中档题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出
8、符合题意的参数范围.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的单调递增区间为_.【答案】【解析】【分析】先求得函数的定义域,再结合复合函数单调性的性质即可求得单调递增区间.【详解】由对数函数真数大于0,可得,解得函数是由对数与二次函数的复合函数构成,由”同增异减”的单调性质,可知对数部分为单调递减函数,则二次函数部分为单调递减函数即可二次函数单调递减区间是结合函数定义域,所以整个函数单调递减区间为【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断,注意对数函数对定义域的特殊要求.14.已知，当时，其值域_【答案】【解析】【分析】令，因为，所以，得到函数，利用二次函数的性质，即可求解，得
9、到答案【详解】由题意，令，因为，所以，则函数，所以当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最小值为，所以函数的值域为，故答案为【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查了换元思想，以及推理与运算能力，属于基础题15.已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若，则的大小关系为_【答案】【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再分析得到，由函数单调性得到，即得解.【详解】，是偶函数，又因为在上递减，所以，即，故填：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查指数函数对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于较
10、易题目。16.设函数的定义域为，值域为，若的最小值为，则实数的值是_。【答案】或【解析】【分析】根据题意，利用函数图像的变换，作出的图像，根据图像特点，结合题意，分和进行讨论，列出关于的等式关系，即可求解出结果。【详解】如图所示，做出的图像，若，当时，时，。若时， 当时，。综上所述，或。【点睛】本题主要考查了对数函数的图像以及性质，在画对数函数图像时要注意强化讨论意识，对底数是还是进行讨。作的图像，应先作出的图像，轴上方的图像保留，轴下方的图像翻折。三、解答题（本大题共6小题，共82分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算（1）；（2）计算：；（3）已知，求.【答案】（1）；（2）
11、；（3）【解析】【分析】（1）（2）根据分数指数幂的定义，及指数的运算性质，代入计算可得答案；（3）由，可得，即，将所求平方，代入即可得答案【详解】（1） ；（2） （3）3，（）2x2+x2+29，x2+x27则（）2x2+x225，【点睛】此题主要考查指对幂的四则运算，熟练掌握指对幂的基本知识点很容易求解，属于简单题目。18.已知函数的定义域是集合,集合是实数集.若，求；若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）将代入求出集合P，令函数解析式有意义，求出集合，结合集合的交集，补集运算的定理，可得；（2）若PQ=Q，则PQ，分P=和P两种情况，分别求出满足条件
12、的实数a的取值范围，综合讨论结果，可得答案试题解析：（1）当故.（2）要 则要(i)当时，即时，要使得.只需 解得(ii)当 时，即时，故.综合(i)(ii)，实数 的取值范围为19.已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）形如，分子，分母同时除以，运算即可得解. （2）形如，除以，构造齐次式运算即可.【详解】解：是关于的方程个实根，且是第三象限角，或（舍去）（1）（2）【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，中档题.20.某公司生产甲、乙两种产品所得利润分别为和（万元），它们与投入资金（万元）的关系有经验公式，今将1
13、20万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额都不低于20万元（）设对乙产品投入资金万元，求总利润（万元）关于的函数关系式及其定义域；（）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？【答案】（）； （）当对甲产品投入资金84万元，对乙产品投入资金万元时，所得总利润最大，最大利润为71万元.【解析】【分析】（）由题得，再求函数的定义域；（）令，则，则原函数化为关于的函数： 再利用二次函数求最大利润.【详解】()对乙产品投入资金万元，则对甲产品投入资万元；所以， ，由，解得，所以其定义域为. ()令，则，则原函数化为关于的函数： , 所以当，即时，（万元），答：当
14、对甲产品投入资金84万元，对乙产品投入资金万元时，所得总利润最大，最大利润为71万元.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法和定义域的求法，考查函数最值的计算和函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数.()证明：当变化，函数的图象恒经过定点； ()当时，设，且，求（用表示）； ()在()的条件下，是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由.【答案】（）； （）；() .【解析】【分析】()令2x-3=1得x=2,即得定点的横坐标，代入函数解析式即得定点坐标；()先求出，再利用对数的运算运算法则求；()化为在区间上有解，
15、令，求得解.【详解】()当时，不论取何值，都有故函数的图象恒经过定点； ()当时，.()在()的条件下，不等式化为即在区间上有解； 令，则，又是正整数，故的最大值为.【点睛】本题主要考查对数函数的定点问题，考查对数的运算法则和对数函数的单调性，考查函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.已知定义在区间上的函数，(1)判定函数在的单调性,并用定义证明；(2)设方程有四个不相等的实根证明：；在是否存在实数，使得函数在区间单调，且的取值范围为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】(1) 在上单调递增.证明见解析； (2) 见证明；存在，的取值范围为
16、【解析】【分析】(1)先判断后按照定义法证明单调性的步骤进行证明即可;(2) 根据绝对值的性质，原方程可以转化为：或，利用一元二次方程根与系数的关系，可以证明出；画出函数的简图，结合可以确定的取值范围，结合图象可以确定函数的单调性，这样可以进行分类讨论，利用构造新函数、代数式的恒等变形、二次函数的单调性，结合已知函数在区间单调，且的取值范围为，最后可以求出的取值范围.【详解】(1)在上单调递增.证明:任取,，且.其中，在上单调递增. (2)或即或为方程的四个不相等的实根由根与系数的关系得如图，可知，在区间、上均为单调函数(i)当时，在上单调递增则,即,在有两个不等实根而令,则由二次函数的单调性，可得， (ii)当时，在上单调递减则两式相除整理得,由,得 综上，的取值范围为【点睛】本题考查了用定义证明函数的单调性，考查了方程根之间的关系的证明，考查了二次函数的单调性，考查了构造函数法，考查了函数图象的应用.