1、天津市耀华中学2019-2020学年度第二学期期末考试高一年级数学学科试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分共100分，建议用时100分钟.第I卷（选择题 共40分）一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1. 复数在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用复数的乘法化简复数z，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数，所以在复数z复平面上对应的点位于第二象限故选：B2. 已知一组数据为第百分位数是（ ）A. B. C.
2、D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用百分位数的定义求解.【详解】因为有6位数，所以，所以第百分位数是第三个数6.故选：C3. 在中，已知，则边等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理列式，由此求得的值.【详解】由余弦定理得，故.故选C.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于基础题.4. 已知向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量坐标表示，即可求向量线性组合的坐标【详解】由向量，知故选：A【点睛】本题考查了向量的坐标表示，属于简单题5. 已知向量，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析
3、】【分析】利用，即可得的值.【详解】因为，所以，解得：，故选：D6. 已知向量，满足|1，|2，且与的夹角为120，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先计算，然后将进行平方，可得结果.【详解】由题意可得： 则.故选：D.【点睛】本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。7. 已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数分别为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别利用最高的小长方形的底边的中点横坐标、所有小长方形的面积相等的分界线，各小长方形底边中点的横坐标与对应频率的积的和，求解即可【详解】由频率分布直方图可知，众数为；由
4、，所以面积相等的分界线为65，即中位数为65；平均数为故选：B【点睛】在频率分布直方图中，众数是最高的小长方形的底边的中点横坐标的值，中位数是所有小长方形的面积相等的分界线，平均数是各小长方形底边中点的横坐标与对应频率的积的和，由此求出即可8. 棱长为的正方体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长求解.【详解】因为正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长，所以，解得，所以球的表面积为：.故选：C9. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，
5、则【答案】D【解析】【分析】若,则需使得平面内有直线平行于直线；若,则需使得,由此为依据进行判断即可【详解】当时,可确定平面,当时,因为,所以,所以；当平面交平面于直线时,因为,所以,则,因为,所以,因为,所以,故A错误,D正确；当时,需使得,选项B、C中均缺少判断条件,故B、C错误；故选:D【点睛】本题考查空间中直线、平面平行关系与垂直关系的判定,考查空间想象能力10. 如图所示，在三棱柱中，底面，直线与侧面所成的角为，则该三棱柱的侧面积为( )A. B. C. 12D. 【答案】A【解析】【分析】由线面垂直的判定定理可得BC面，得到直线与侧面所成的角为，然后由题目条件可得AB,BC的长度，
6、从而可得侧面积.【详解】底面，则，,可得BC面，所以直线与侧面所成的角为，又，则该三棱柱的侧面积为2，故选A【点睛】本题考查线面垂直判定定理的应用和线面角的求法，属于基础题.第II卷（非选择题 共60分）二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡上. 11. _.【答案】【解析】【分析】首先根据题意得到，再化简求值即可.【详解】.故答案为：12. 将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m_【答案】20【解析】试题分析：第二、三组的频率为0.15和0.45第一组的频率为1-0.15-0.45=0.4第一组的频数为8m=
7、考点：频率分布直方图13. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为_.【答案】【解析】【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，【详解】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件，事件为事件的对立事件，则事件为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功概率分别为和则，再根据对立事件的概率之间的公式可得，故至少有一种新产品研发成功的概率故答案为：【点睛】本题主要考查了对立事件的概率，考查学生的计算能力，属于基础题14. 已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为
8、.【答案】【解析】【分析】设圆锥的底面半径为，根据题意计算出的值，并计算出圆锥的高，再利用锥体的体积公式可得出所求圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面积为，得，圆锥的高为，因此圆锥的体积为，故答案为.【点睛】本题考查圆锥体积的计算，解题的关键就是求出圆锥的母线长与半径长，考查运算能力，属于基础题.15. 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA平面ABCD，且PA，AB1，BC2，AC，则异面直线与所成的角等于_；二面角PCDB的大小_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由平行四边形可得AB平行于CD，则PBA异面直线与所成的角，进而可得答案
9、；根据勾股定理得到ACCD，再根据线面垂直的性质可得PCCD，进而找到所求二面角的平面角为PCA；在直角三角形PAC中可得到PCA的大小，进而可确定P-CD-B的二面角大小.【详解】因为底面ABCD为平行四边形，所以AB平行于CD，则PBA异面直线与所成的角，因为PA平面ABCD，所以PAAB又PA，AB1，所以PBA=60，即异面直线与所成的角是60，AB=1，BC=2，AC=，BC2=AB2+AC2，BAC=90，ACD=90，即ACCD.又PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又PAAC=A，CD平面PAC.又PC平面PAC，PCCD，PCA是二面角P-CD-B的平面角.在直角三
10、角形PAC中，PAAC，PA=，AC=，PCA=45，即二面角P-CD-B的大小为45.故答案为：，45.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角以及二面角的求解，属于基础题. 求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.16. 如图，已知 中，点M在线段AC上，点P在线段BM上，且满足 ，若 ，则的值为_【答案】-2【解析】 . ,化为 ,故答案为 .三.解答题：本大题共4小题，共36分，将解题过程及答案填写在答题卡上.17. 已知复数，
11、当取何实数值时，复数是：（1）纯虚数；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用，即可求解.（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等即可求解.【详解】（1）若复数是纯虚数，则，解得，所以（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等可得，解得，即18. 某市为了解社区群众体育活动的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个行政区抽出6个社区进行调查.已知A，B，C行政区中分别有12，18，6个社区.（1）求从A,B,C三个行政区中分别抽取的社区个数；（2）若从抽得的6个社区中随机的抽取2个进行调查结果的对比，求抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区的概率.【答案】（1）2，3，
12、1；（2）.【解析】【分析】（1）根据分层抽样的原理,在抽样的过程中保持每个个体被抽到的概率相等,按照人数的比列把抽样的人数分到相应的层,则有,即可求出每层应该抽取的人数；（2）首先对抽取的6个社区进行编号,则列出从6个社区中选取两个的所有基本事件数为15,在所有的基本事件中找出满足至少有一个来自A社区的基本事件数为9,再根据古典概型的概率计算公式可以得到该事件的概率为.【详解】（1）社区总数为1218636，样本容量与总体中的个体数比为所以从，三个行政区中应分别抽取的社区个数为2，3，1 （2）设为在行政区中抽得的2个社区，为在B行政区中抽得的3个社区，为在行政区中抽得的社区，在这6个社区中
13、随机抽取2个，全部可能的结果有共有15种 设事件“抽取的2个社区至少有1个来自行政区”为事件，则事件所包含的所有可能结果有：共有9种， 以这2个社区中至少有1个来自行政区的概率为【点睛】本题考查了分层抽样，考查了古典概型概率计算公式，考查了数学运算能力.19. 在ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值【答案】（1）B=60（2）【解析】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理20. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，（1）求证：平面；（2）求
14、证：直线平面（3）求直线与平面所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由题意知，利用线面垂直的判断定理即可证明；（2）由菱形的性质知由平面，可知，利用线面垂直的判定定理即可证明；（3）过作连结，结合，可得平面，可得以是直线与平面所成角，在中利用三角函数的定义即可求解.【详解】解：（1）因为四边形是菱形，所以，因为平面，平面所以平面.（2）因为四边形是菱形，所以 又因为平面平面所以又因为所以平面（3）过作连结因为平面平面所以又因为所以平面所以是直线与平面所成角在中，所以所以是直线与平面所成角的正切值【点睛】方法点睛：求线面角通常方法有：（1）直接法：找出线面角，三角形内解三角形即可 ；（2）利用公式：是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长即是关键点又是难点，通常可以利用三棱锥等体积求垂线段的长；（3）利用空间向量：求平面的法向量，直线的方向向量，则线面角的正弦值为