1、天津市河西区海河中学2021届高三数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题（每题5分）1. 已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】先求出集合A,再求交集.【详解】, 故选：A【点睛】本题考查解绝对值不等式和集合求交集运算，属于基础题.2. 设命题，命题，则是成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出、中两个不等式的解，利用集合的包含关系即可判断出、之间的充分条件和必要条件关系.详解】解不等式，得，解不等式，得，即，因此，是成立的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查充分条件和
2、必要条件的判断，在涉及不等式与方程时，一般转化为集合的包含关系来判断，考查推理能力与运算求解能力，属于基础题.3. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由向量垂直的表示和向量数量积的运算律得出，再由向量的坐标运算可得答案.【详解】因为 ，所以，即，解得故选：B.【点睛】本题考查向量垂直的性质，向量的数量积运算律，考查学生的基本运算能力，属于基础题4. 已知函数，则的增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出函数的定义域为；令，根据二次函数的单调性，以及复合函数的单调性，即可得出结果.【详解】由得，解得，即函数的定义域为；令，因为函
3、数是开口向下，对称轴为的二次函数，所以当时，单调递增；当时，单调递减；又函数是增函数，根据复合函数的单调性，可得，的增区间为.故选：B.【点睛】本题主要考查求对数型复合函数的单调性，属于基础题型.5. 在中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由余弦定理得.由正弦定理得，解得.考点：解三角形.6. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数值的正负排除B，由函数的奇偶性排除C，由函数在时的变化趋势排除D从而得正确选项【详解】由题意，排除B；又，不是偶函数也不是奇函数，排除C；当时，排除D故选：A【点睛】本题考查函数函数解析式选取函数图
4、象，解题方法是排除法，通过研究的性质，函数值的正负，变化趋势等排除错误选项，后可得正确选项7. 在中，分别为内角，的对边，若，且，则（ ）A. B. 4C. D. 5【答案】B【解析】【分析】由三角函数的基本关系式和，求得，再由正弦定理，得到，根据余弦定理，列出方程，即可求解.【详解】因，则，所以，又因为，即，解得，又由，根据正弦定理，可得，由余弦定理，可得，整理得，即.故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档题8.
5、已知函数，且，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由奇偶性定义判断函数在定义域上是偶函数，且在上是增函数，然后由及函数的单调性求解.【详解】函数定义域为，且，所以是偶函数，且在上是增函数，又，所以，所以，故选：C【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合运用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.9. 已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数，则下列判断正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为B. 函数在区间上单调递增C. 函数的图象关于直线对称D. 函数的图象关于点对称【答案】B【解析】图像相邻两条对称轴之间的距离为，即三角函数的周期为
6、,所以,又是偶函数，,即,又,解得,所以.A项,最小正周期,错误;B项, 由,解得单调递增区间为,k=1时成立,故正确;C项, ,解得对称轴是,错误;D项, 由,解得对称中心是,错误;综上所述,应选B.10. 已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题等价于函数的与的图象有3个交点，分别利用导数求出与两段函数相切时的值，即可得到取值范围【详解】解：作出函数的与图象如图：当为的切线时，即，解得，即切点为，代入得，所以；当为的切线时，即，解得，即切点为，代入得，所以；故的取值范围是，故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的画法，根据零
7、点个数求参数的取值范围，属于中档题二、填空题（每题5分）11. 是虚数单位,若是纯虚数,则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】对复数进行化简计算，再根据纯虚数的定义，得到的值.【详解】因为复数为纯虚数，所以，得.故答案为：.【点睛】本题考查复数的计算，根据复数类型求参数的值，属于简单题.12. 不等式的解集为_（用区间表示）【答案】【解析】【分析】将分式不等式移项通分后转成二次不等式求解即可.【详解】将不等式移项通分得即，则不等式等价于，解得，所以不等式的解集为.故答案为：【点睛】本题考查分式不等式的解法，要注意分母不能为0，属于简单题.13. 在的展开式中，项的系数为_（用数字作答）【答案
8、】【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式，写出通项，即可根据题意求解.【详解】因为的展开式的通项为，令，则，所以项的系数为.故答案为：.【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.14. 已知平面向量，满足，则_.【答案】【解析】【分析】根据向量的垂直关系求出，再将向量的模长转化为向量的数量积，即可求解.【详解】由题意可得且，即，所以，所以，故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积运算，熟记公式即可，属于基础题15. 已知函数，则函数的极大值为 _【答案】【解析】【分析】对函数求导，通过赋值，求得，再对函数单调性进行分析，求得极大值.【详解】，故解得， ，令，解得函数
9、在单调递增，在单调递减，故的极大值为故答案为：.【点睛】本题考查函数极值的求解，难点是要通过赋值，求出未知量.16. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象若为奇函数，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】利用图象变换求得函数的解析式，由函数为奇函数，可得出关于的代数式，进而可求得正数的最小值.【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到的图象，由于函数为奇函数，则，当时，正数取得最小值.故答案为：.【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同
10、时也考查了利用正弦型函数的奇偶性求参数，考查计算能力，属于中等题.17. 已知函数的图象关于对称，且函数在上单调递减，若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得在时恒成立，故解得m的取值范围【详解】函数的图象关于对称，函数的图象关于对称，即函数为奇函数，不等式变为:，即，又函数在上单调递减，在R上单调递减，则在时恒成立，在上递增，故故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于难题.18. 如图，在中，已知，为边的中点若，垂足为，则的值为_ 【答案】【解析】【详解】，由余弦定理，得，得，所以，所以点睛：本题考查平面向
11、量的综合应用本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到，所以本题转化为求长度，利用余弦定理和面积公式求解即可三、解答题（每题15分）19. 已知函数（）的最小正周期为.（1）求的值和函数的单调增区间；（2）求函数在区间上的取值范围.【答案】（1）；单调增区间为，；（2）.【解析】【分析】（1）先将函数解析式整理，得到，根据最小正周期，即可求出，由正弦函数的单调性，列出不等式求解，即可得出单调增区间；（2）先由，得到，根据正弦函数的性质，即可求出结果.【详解】（1），函数的最小正周期为，；，由，得，函数的单调增区间为，.（2）由得，所以，则.即的取值范围为.【点睛】本题主要
12、考查由正弦型函数的周期求参数，考查求正弦型函数的单调区间，考查求正弦型函数在给定区间的值域，属于常考题型.20. 设函数的导数满足，.（1）若在区间上的最大值为20，求的值.（2）若函数的图象与轴有三个交点，求的范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出，的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求的单调区间；由函数在区间上的最大值，建立方程关系即可求的值.（2）若函数的图象与轴有三个交点，则等价为函数的极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可求的范围.【详解】解：（1）函数的导数，满足，得，由得得，得，此时函数单调递增，即递增区间为，由得得，得
13、或，此时函数单调递减，即递减区间为，；所以当时，函数取得极小值，则在区间上的最大值为，则.（2）由（1）知当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，若函数的图象与轴有三个交点，则，得，得，即的范围是.【点睛】本题主要考查导数的综合应用，由导函数判断函数单调性，求函数的最值，建立方程或不等式进行求解是解决本题的关键，属于中档题.21. 在中，角、所对的边分别为、，且（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求及的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由三角恒等变形可得，即（2）由余弦定理得，再由正弦定理及三角形面积公式可得：，即，得解.【详解】解：（1），可得：， ，（2），【点睛】本题
14、考查了三角恒等变形及正余弦定理，属中档题.22. 已知函数，在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）对于在中的任意一个常数，是否存在正数，使得，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在；答案见解析.【解析】分析】（1）求导，表示在点处切线方程，再由已知条件得出方程组，解之可得答案. （2）由（1）可得，问题转化为恒成立，令，求导，分析在上的单调性，由函数的最值可求得的取值范围；（3）假设存在正数，使得：成立.并转化为函数的最小值小于0即可.求导，分析函数的单调性，得出最值，由此可得出正数的值.【详解】解：（1）函数的导数为，在点处切线方程为，可得；函数的切线方程为，即，解得；（2）证明：由（1）可得，即为，可令，由，可得，即有，在递增，可得，故的取值范围为；（3）对于在中的任意一个常数，假设存在正数，使得：.由成立，从而存在正数，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可.令，令，解得，令，解得，则为函数的极小值点，即为最小值点.故的最小值为，再令，（），则在递增，可得，则.故存在正数，使得.【点睛】本题考查导数的几何意义，运用导函数分析函数的单调性和最值，不等式的恒成立问题的转化，属于难题.