1、10.3几个三角恒等式学 习 任 务核 心 素 养1能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能代换公式(重点) 2能利用所学公式进行三角恒等变换(重点、难点)1 通过学习积化和差与和差化积公式，半角公式，降幂公式，培养逻辑推理素养2通过利用公式求值、化简和证明，培养数学运算素养前面，我们学习了两角和与差的正余弦公式：sin()sin cos cos sin ，(S()；sin()sin cos cos sin ，(S()；cos()cos cos sin sin ，(C()；cos()cos cos sin sin ，(C()由能得出sin cos 及cos sin 吗？由能得出cos
2、cos 及sin sin 吗？知识点1积化和差与和差化积公式(1)积化和差公式sin cos sin()sin()，cos sin sin()sin()，cos cos cos()cos()，sin sin cos()cos()(2)和差化积公式sin sin 2sin cos ，sin sin 2cos sin ，cos cos 2cos cos ，cos cos 2sin sin 1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)sin(AB)sin(AB)2sin Acos B()(2)cos(AB)cos(AB)2sin Acos B()(3)cos()cos()cos2 cos2 ()提
3、示(1)正确(2)cos(AB)cos(AB)2sin Asin B(3)cos()cos()(cos 2cos 2)答案(1)(2)(3)知识点2半角公式与降幂公式半角公式降幂公式sin ，cos ，tan ，tan sin2，cos2，tan2拓展：万能公式：设tan t，则sin ，cos ，tan 2若cos ，且，则cos _，cos3若tan 3，则cos _tan29，cos 类型1应用和差化积或积化和差求值【例1】求sin220cos250sin 20cos 50 的值解原式(sin 70sin 30)1(cos 100cos 40)sin 70(2sin 70sin 30)s
4、in 70sin 70sin 70套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.跟进训练1(1) sin 20sin 40sin 60sin 80()A B C D1(2)已知cos cos ，sin sin ，求sin()的值(1)C原式sin 20sin 80sin 40sin 602cos 50sin(30)cos 50sin 60sin 60(2)解cos cos ，2sinsin又sin sin ，2cossinsin0，由，得tan，即
5、tansin() 类型2万能代换公式的应用【例2】设tan t，求证：(t1)利用万能代换公式，分别用t表示sin ，cos ，代入待证等式的左端即可证明.证明由sin 及cos ，得1sin ，1sin cos ，故(t1)在万能代换公式中不论的哪种三角函数(包括sin 与cos )都可以表示成tant的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.跟进训练2已知cos ，且180270，求tan解180270，90135，tan0由cos ，得，解得tan24又tan0，tan2 类型3f(x)asin2xbsin xcos xc
6、cos2x的性质【例3】求函数f(x)5cos2xsin2x4sin xcos x，x的最小值，并求其单调减区间解f(x)52sin 2x32cos 2x2sin 2x343434sin34sin，x，2xsin当2x，即x时，f(x)取最小值为32ysin在上单调递增，f(x)在上单调递减1(变结论)本例中，试求函数f(x)(xR)的对称轴方程解f(x)34sin，令2xk，kZ，得x，kZ所以函数f(x)的对称轴方程为x，kZ2(变条件)本例中，函数解析式变为f(x)sin2sin2(xR)，求f(x)的单调减区间解f(x)sin 21cos 2212sin1，由2k2x2k，kZ，得kx
7、k，kZ，f(x)的单调减区间为，kZ1应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤(1)运用和、差、倍角公式和重要恒等式化简(2)统一化成f(x)asin xbcos xk的形式(3)利用辅助角公式化为f(x)Asin(x)k的形式，研究其性质2对三角函数式化简的常用方法(1)降幂化倍角；(2)升幂角减半；(3)利用f(x)asin xbcos xsin(x)，化为“一个角”的函数跟进训练3已知函数f(x)2cos2cos(1)求函数的最小正周期以及对称轴方程；(2)求函数yf(x)的单调减区间解f(x)2cos2coscos1cossincos1sin1sin1(1)函数的最小正周期T令2xk(
8、kZ)，解得x(kZ)，故对称轴方程为x(kZ)(2)yf(x)sin1sin1，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，故函数的单调减区间是(kZ)1已知tan ，则sin 2()A B C DDsin 22若3x4，则()Acos BcosCsin DsinC因为3x4，所以2，sin 0于是cos sin sin3已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为()A B C DB设等腰三角形的顶角为，底角为，则cos 又，即cos cossin 4化简：_tan 20原式tan 205若cos ，是第三象限角，则_是第三象限角，为第二、四象限角，tan0，tan3，原式回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何用cos 表示sin2，cos2？提示sin2；cos22如何用tan 表示sin 2，cos 2？提示sin 2，cos 23如何确定半角公式根号前的符号？提示(1)当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号sin cos tan 第一象限第一、三象限，第二象限第一、三象限，第三象限第二、四象限，第四象限第二、四象限，(2)当给出角的范围时，可先求的范围，再根据的范围来确定各三角函数值的符号(3)若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号