1、10.1.2两角和与差的正弦学 习 任 务核 心 素 养1能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式(难点) 2能利用公式解决简单的化简、求值问题(重点)1通过对两角和与差的正弦公式的推导，培养逻辑推理素养2通过应用两角和与差的正弦公式进行求值、化简和证明，培养数学运算和逻辑推理素养(1)sin 30与cos 60间存在怎样的数量关系？(2)你能借助诱导公式及cos()的公式推导出sin()的公式吗？知识点两角和与差的正弦公式(1)两角和的正弦公式：S()：sin()sin cos cos sin (2)两角差的正弦公式：S()：sin()sin cos co
2、s sin (3)辅助角公式asin xbcos x，令cos ，sin ，则有asin xbcos x(cos sin xsin cos x)sin(x)，其中tan ，为辅助角1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)sin 150sin 120sin 30()(2)sin 60cos 30cos 60sin 30()(3)，R时，sin()sin cos cos sin ()(4)sin 54 cos 24sin 36sin 24sin 30()提示(1)公式错误(2)原式sin(6030)sin 901(3)sin()sin cos cos sin (4)原式sin 54cos 2
3、4cos 54sin 24sin(5424)sin 30答案(1)(2)(3)(4)2sin _原式sinsin cos cos sin 3sin 15cos 15_原式cos 30sin 15sin 30cos 15sin(3015)sin 45 类型1两角和与差的正弦公式的简单应用【例1】求下列各式的值：(1)sin 163sin 223sin 253sin 313；(2)(1)从角和“形”入手，转化成两角和(差)的正弦求值.(2)注意角的差异与变换：55605，85905.解(1)原式sin 163sin(90133)sin(90163)sin(180133)sin 163cos 133
4、cos 163sin 133sin(163133)sin 30(2)原式11对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值2在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求跟进训练1求下列各式的值：(1)sin 165；(2)sin 14cos 16sin 7
5、6cos 74；(3)sin(75)cos(45)cos(15)解(1)sin 165sin(18015)sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30(2)sin 14cos 16sin 76cos 74sin 14cos 16cos 14sin 16sin(1416)sin 30(3)sin(75)cos(45)cos(15)sin(1560)cos(1530)cos(15)sin(15)cos 60cos(15)sin 60cos(15)cos 30sin(15)sin 30cos(15)sin(15)cos(15)cos(15)sin(15)cos(15
6、)0 类型2给值求值【例2】已知0，cos，sin，求cos()的值注意()，可通过求出和的正、余弦值来求cos().解由0，得0，cos，sin，cos()sinsinsincoscossin解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.跟进训练2已知，是锐角，且sin ，cos()，求sin 的值解是锐角，且sin ，cos 又cos(
7、)，均为锐角，sin()sin sin()sin()cos cos()sin 类型3形如asin xbcos x的函数的化简及应用【例3】(对接教材P54探究)已知函数f(x)2sin2cos x，x，求函数f(x)的值域等式asin xbcos xAsin(x)中A和一定存在吗？它们与a，b有什么关系？解f(x)2sin2cos xsin xcos x2sin，x，xsin1函数f(x)的值域为1，21(变结论)本例条件不变，将函数f(x)用余弦函数表示解f(x)sin xcos x2222cos2(变结论)本例条件不变，求函数f(x)的单调区间解f(x)2sin，由2kx2k，得2kx2k
8、，与x取交集得x，函数f(x)的单调递增区间为；由2kx2k，得2kx2k，与x取交集得x，函数f(x)的单调递减区间为此类问题的求解思路如下：首先将函数f(x)化简为f(x)asin xbcos x的形式；,然后借助辅助角公式化f(x)为f(x)sin(x)的形式；最后，类比ysin x的性质，树立“x”的团体意识研究yf(x)的性质.跟进训练3求函数ycos xcos的最大值和最小值解ycos xcoscos xcos xcos sin xsin cos xcos xsin xcos xsin xcos，当x2k，kZ时，ymax1；当x2k，kZ时，ymin(1)1sin 20cos 1
9、0cos 160sin 10()A B C DA原式sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 302sin cos _原式222sin2sin 3_原式sin 304已知，sin()，sin，则sin_由题意知，sin()0，所以cos()，因为，所以cos，sinsinsin()coscos()sin5若函数f(x)sincos，则f(x)的最小正周期为_；f(x)的值域为_1，1因为f(x)sincossin 2xcoscos 2xsincos 2xcos sin 2xsinsin 2xcos 2xcos 2xsin 2xcos 2x所以T又因为cos 2x1，1，所以f(x)1，1回顾本节知识，自我完成以下问题：1本堂课主要学习了哪几个公式？提示(1)sin()sin cos cos sin ；(2)asin bcos sin()，其中tan 2应用上述公式可以解决三角函数式的哪些问题？提示可以利用上述公式解决三角函数式的化简求值以及研究函数yAsin(x)的性质等问题