1、第3节平面向量的数量积及综合应用一、教材概念结论性质重现1向量的夹角定义图示范围共线与垂直给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作a，b，则称0，内的AOB为向量a与b的夹角，记作a，b设为a与b的夹角，则的取值范围是00或ab，ab2平面向量的数量积定义一般地，当a与b都是非零向量时，称|a|b|cos a，b为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作ab，即ab|a|b|cosa，b投影|a|cos 叫做向量a在向量b方向上的投影的数量，|b|cos 叫做向量b在向量a方向上的投影的数量几何意义数量积ab等于a的长度|a|与a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积(1)在分析两向量的夹角
2、时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现(2)两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线3向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.(1)要准确理解数量积的运算律，例如，abac(a0)，不能得出bc，两边不能约去同一个向量(2)平面向量数量积运算的常用公式(ab)(ab)a2b2；(ab)2a22abb2；(ab)2a22abb2.4平面向量数量积的性质及坐标表示已知两个非零向量a(x
3、1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为，则abx1x2y1y2.性质几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()(5)两个向量的夹角的范围是.()2若两个非零向量a，b满足|b|2|a|2，|a2b|3，则a，b的夹角是() A
4、. B. C.D.D解析：因为|b|2|a|2，|a2b|3，所以(a2b)2a24ab4b29，得ab2.所以cos 1.因为0，所以.3已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k_.12解析：因为2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，所以102k0，解得k12.4已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影的数量为_解析：(2,1)，(5,5)，由定义知，在方向上的投影的数量为.5如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请设法计算_.11解析：以A为坐标原
5、点，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，(4,1)，(2,3)，所以421311.考点1平面向量数量积的运算基础性 1(2020重庆模拟)已知向量a(3，1)，b(1,2)，则a在b上的投影的数量为()A B C DA解析：由数量积定义可知，a在b方向上的投影为|a|cosa，b.2(2020乐山模拟)已知向量a与向量m(4,6)平行，b(5,1)，且ab14，则a()A(4,6)B(4，6)C DB解析：因为向量a与向量m(4,6)平行，可设a.由ab14可得5kk14，得k4，所以a(4，6)3(2020三明模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，设AM与
6、BD交于点G，则()A1B2 C3D4A解析：以A为原点，AB和AD分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)因为，所以M为线段CD的靠近点D的三等分点，所以M.(方法一)显然DGMBGA，且相似比为13.，(1,1)，(1,1)1.(方法二)直线BD的方程为yx1，直线AM的方程为y3x.联立解得所以点G.所以(1,1)111.4已知a(x,1)，b(2,4)，若(ab)b，则x等于_12解析：因为a(x,1)，b(2,4)，所以ab(x2,5)又(ab)b，所以(x2)(2)200，所以x12.平面向量数量积的三种运算方法(1)当
7、已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)对于数量积与线性运算的综合问题，可先运用数量积的运算律，几何意义等化简，再运算考点2平面向量数量积的性质应用性(2020汕头二模)已知非零向量a，b，若|a|b|，且a(a2b)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.B解析：因为a(a2b)，所以a(a2b)a22ab0，所以ab.又|a|b|，所以cosa，b，且0a，b，所以a与b的夹角为.1将本例条件改为“已知平面向量a，b满足|ab|a|b|0”，求a
8、与b的夹角解：由|ab|a|b|0，所以(ab)2a2b2，a22abb2a2b2.设a与b的夹角为，则|a|22|a|b|cos |b|2|a|2，化简得12cos 11，解得cos .又0，所以a与b的夹角.2本例若把条件改为“已知向量a与b的夹角为30，且|a|2ab|1”，求|b|.解：因为|2ab|1，所以|2ab|24a24abb21，所以44|b|cos 30b21，整理得|b|22|b|3(|b|)20，解得|b|.1求解平面向量模的方法(1)利用公式|a|.(2)利用|a|.2求平面向量的夹角的方法(1)定义法：cos ，的取值范围为0，(2)坐标法：若a(x1，y1)，b(
9、x2，y2)，则cos .(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中3两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.(2021八省联考)已知单位向量a，b满足ab0.若向量cab，则sina，c()A. B. C. D.B解析：因为a，b是单位向量，所以|a|b|1.因为cab，所以|c|ab|3.所以cosa，c.所以sina，c.考点3平面向量数量积的应用综合性考向1平面向量与三角函数已知A，B，C的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )(1)若|，求角 的值；(2)若1，求的值解：(1)因为A，B，C的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)
10、，C(cos ，sin )，所以(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)所以|，|.因为|，所以，即(cos 3)2(sin )2(cos )2(sin 3)2，所以sin cos ，所以tan 1，所以k，kZ.(2)由(1)知，(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，所以(cos 3)cos sin (sin 3)13(sin cos )1.所以sin cos ，所以(sin cos )212sin cos 2，所以2sin cos .所以2sin cos .平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等
11、式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等考向2平面向量的最值问题(2020武汉模拟)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是()A1B1C2D2A解析：设e(1,0)，b(x，y)，则b24eb30x2y24x30(x2)2y21.如图所示，a，bB为圆C上动点，.所以|ab|min|CD|11(其中CDOA)平面向量的最值一般有两种处理方法(1)几何法：充分利用几何图形的特征，结合
12、向量的线性运算和向量的数量积运算解决(2)代数法：将平面向量的最值转化为坐标运算，建立目标函数，利用代数方法解决1. (2020西城区二模)设向量a，b满足|a|b|1，ab，则|axb|(xR)的最小值为()A.B.C.1D.B解析：|axb|2a22xabx2b2x2x12，所以当x时，|axb|取得最小值.2已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值解：(1)abcos cos sin sin cos 2x.因为ab，所以|ab|2|cos x|.因为x，所以cos x0，所以|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2c
13、os x2cos2x2cos x122.因为x，所以cos x1，所以当cos x时，f(x)取得最小值；当cos x1时，f(x)取得最大值1.(2019天津高考)在四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，BAD30，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则_.四字程度读想算思求1.数量积的计算方法；2用哪个公式好？用恰当的基底或坐标表示两向量转化与化归ADBC，A30，AEBE1.基向量法1；2基向量法2；3基向量法3；4坐标法1；5坐标法21.几何法计算线段与夹角；2用基底或坐标表示与；3计算数量积1.向量的线性运算法则；2数量积计算公式思路参考：探究AEB中的边角大小1解析：如图，
14、因为ADBC，且DAB30，所以ABE30.又因为AEBE，所以EAB30.所以E120.所以在AEB中，AEBE2.所以()()21222cos 3052cos 3052cos 18012615101.思路参考：用，作基向量表示.1解析：如图，因为AEBE，ADBC，BAD30，所以在等腰三角形ABE中，BEA120.又AB2，所以AEBE2，所以.因为，所以.又，所以()222|cos 3021225251.思路参考：构造菱形AEBF.1解析：如图，过点B作AE的平行线交AD于点F.因为ADBC，所以四边形AEBF为平行四边形，因为AEBE，故四边形AEBF为菱形因为BAD30，AB2，所
15、以AF2，即.因为，所以()222512101.思路参考：利用坐标法求AE，BE所在直线的方程1解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2，0)，D.因为ADBC，BAD30，所以ABE30.因为AEBE，所以BAE30，所以直线BE的斜率为，其方程为y(x2)，直线AE的斜率为，其方程为yx.由得x，y1，所以E(，1)所以(，1)1.思路参考：利用坐标法确定点A，B，D，E的坐标1解析：过点B作BF垂直于AD于点F.因为AB2，BAD30，则BF，AF3.又因为ADBC，AEBE，则EBABADEAB30，则BE2.以F为原点，FD，FB为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(3,0
16、)，B(0，)，D(2,0)，E(2，)所以(2，)，(1，)，则231.1本题考查平面向量数量积的计算问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助于数量积计算的两个公式，利用基向量法或者坐标法求解2基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握读图能力、运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养3本题以几何图形的处理为切入点，求向量的数量积，可以从不同的角度解答题目，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.2解析：(方法一)|a2b|2.(方法二)由|a|2b|2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图所示，则|a2b|.又AOB60， 所以|a2b|2.