1、专题五万有引力定律高考试题考点一 万有引力定律及其应用1.(2013年广东理综,14,4分)如图,甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动,下列说法正确的是()A.甲的向心加速度比乙的小B.甲的运行周期比乙的小C.甲的角速度比乙的大D.甲的线速度比乙的大解析:设卫星质量为m,根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力,对甲卫星有=ma=m=mr2=mr,得到a=,v=,=,T=2.所以当半径一定,而中心天体质量为2M的时候,将分别引起卫星的向心加速度变大、线速度变大、角速度变大,而周期却变小,综上所述可知,选项A正确.答案:A点评： 天体问题是高考热点,解决此类问题的
2、关键是万有引力提供向心力.本题考查了应用天体知识与圆周运动相结合,判断卫星的速度、运行周期等变化的问题,所以熟练应用基本公式,结合变式讨论,是考生在考试中应当必备的一项基本技能.2.(2013年福建理综,13,6分)设太阳质量为M,某行星绕太阳公转周期为T,轨道可视作半径为r的圆.已知万有引力常量为G,则描述该行星运动的上述物理量满足()A.GM=B.GM=C.GM=D.GM=解析:行星所受太阳的万有引力提供其做圆周运动的向心力.对行星有: =mr,故GM=,选项A正确.答案:A点评： 解决天体做圆周运动的问题时,中心天体对其的万有引力提供向心力,灵活地列出相应的关系方程是准确快速解答的关键.
3、3.(2013年江苏卷,1,3分)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律可知()A.太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D.相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析:火星和木星在椭圆轨道上绕太阳运行时,太阳位于椭圆轨道的一个焦点上,故选项A错误;由于火星和木星在不同的轨道上运行,且是椭圆轨道,速度大小变化,火星和木星的运行速度大小不一定相等,选项B错误;由开普勒第三定律可知,= =k, =,选项C正确;由于火星和木星在不同的轨道上,火星与太阳连线在相同时
4、间内扫过的面积相等,但不一定等于相同时间内木星与太阳连线扫过的面积,选项D错误.答案:C4.(2013年浙江理综,18,6分)如图所示,三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上,设地球质量为M,半径为R.下列说法正确的是()A.地球对一颗卫星的引力大小为B.一颗卫星对地球的引力大小为C.两颗卫星之间的引力大小为D.三颗卫星对地球引力的合力大小为解析:地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离,选项A错误,B正确;两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120角,间距为r,代入数据得,两颗卫星之间引力大小为,选项C正确;因三颗卫星对地球的引力大小相等且互成120,故三颗卫星对地球引力
5、的合力为0,则选项D错误.答案:BC点评： 本题考查对万有引力计算公式F=的理解及应用,利用几何知识计算卫星间距,对物理模型的处理方法.难度较小.5.(2013年大纲全国卷,18,6分)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星,它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行,运行周期为127分钟.已知引力常量G=6.6710-11 Nm2/kg2,月球半径约为1.74103 km.利用以上数据估算月球的质量约为()A.8.11010 kgB.7.41013 kgC.5.41019 kgD.7.41022 kg解析:“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动,月球对“嫦娥一号”的万有引力提供向心力,由牛顿第
6、二定律知: =,得M=,其中r=R+h,代入数据解得M=7.41022 kg,选项D正确.答案:D6.(2013年山东理综,20,5分)双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的k倍,两星之间的距离变为原来的n倍,则此时圆周运动的周期为()A.TB. TC.TD. T解析:如图所示,设两恒星的质量分别为M1和M2,轨道半径分别为r1和r2,原来双星间的距离为r,根据万有引力定律及牛顿第二定
7、律可得=M1r1=M2r2联立得= (r1+r2),即=当两星的总质量变为原来的k倍,它们之间的距离变为原来的n倍时,有=联立解得T=T,故选项B正确.答案:B7.(2013年四川理综,4,6分)迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住,绕恒星“Gliese581”运行的行星“Gl581c”却很值得我们期待.该行星的温度在0 到40 之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日.“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍.设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体,绕其中心天体做匀速圆周运动,则()A.在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同B.如果人到了
8、该行星,其体重是地球上的2倍C.该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的倍D.由于该行星公转速率比地球大,地球上的米尺如果被带上该行星,其长度一定会变短解析:设行星和地球的质量分别为m1、m2,半径分别为R1、R2,公转周期分别为T1、T2,中心天体质量分别为M1、M2,根据题中条件,将有:=6,=1.5,=,=0.31.根据万有引力提供向心力,=,得第一宇宙速度之比=2,选项A错误;根据万有引力近似等于重力,有mg=,得人的体重之比=,选项B正确;根据G=mr,得运行半径r=,所以=,选项C错误;米尺变短是当米尺沿速度方向放置,且以近光速运动的时候出现的一种相对论缩短效应,而该行星的
9、公转速率是远远达不到近光速的,且米尺是否有缩短效应还与放置方向有关,当垂直速度方向放置时,即使近光速运动,其长度也不会变短,选项D错误.答案:B8.(2012年新课标全国理综,21,6分)假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A.1- B.1+C.D. 解析:设地球的密度为,地球的质量为M,根据万有引力定律可知,地球表面的重力加速度g=.地球质量可表示为M=R3,因质量分布均匀的球壳对地壳内物体的引力为零,所以矿井底部可等效为地面,矿井以下剩余地球的质量为M=(R-d)3,解得M=M,则矿
10、井底部处的重力加速度g=,则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为1-,故选项A正确,选项B、C、D错误.答案:A9.(2012年浙江理综,15,6分)如图所示,在火星与木星轨道之间有一小行星带,假设该带中的小行星只受到太阳的引力,并绕太阳做匀速圆周运动.下列说法正确的是()A.太阳对各小行星的引力相同B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值解析:行星绕太阳运动,由F万=F向=ma向=m=mr得:a向=,v=,T=.因各小行星的轨道半径r,质量m均不确定,故无
11、法比较太阳对各小行星引力的大小,选项A错误.由T=知,小行星的运动周期大于地球的运动周期(一年),选项B错误.由a向=可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值,选项C正确.由v=可知,小行星带内各小行星的线速度值小于地球公转的线速度值,选项D错误.答案:C10.(2012年重庆理综,18,6分)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统,质量比约为71,同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动.由此可知,冥王星绕O点运动的()A.轨道半径约为卡戎的B.角速度大小约为卡戎的C.线速度大小约为卡戎的7倍D.向心力大小约为卡戎的7倍解析:做双星运动的星体相互间的万有引力提供各自做
12、圆周运动的向心力,即F万=m冥2r冥=m卡2r卡,得=,故选项A正确.双星运动的角速度相同,故选项B错误.由v=r可知冥王星的线速度为卡戎的,故选项C错误.两星的向心力为两者间的万有引力且等值反向,故选项D错.答案:A11.(2012年福建理综,16,6分)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为N,已知引力常量为G,则这颗行星的质量为()A.B.C. D.解析:对卫星: =m,mg=m;对被测物体:mg=N,联立可得M=,故B正确.答案:B12.(2011年重庆理综,21,6分)某行
13、星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆.每过N年,该行星会运行到日地连线的延长线上,如图所示.该行星与地球的公转半径之比为()A. B.C.D. 解析:根据=可知,地=,行=,再由=m2r,可得=,由此可知B项正确.答案:B13.(2011年广东理综,20,6分)已知地球质量为M,半径为R,自转周期为T,地球同步卫星质量为m,引力常量为G.有关同步卫星,下列表述正确的是()A.卫星距地面的高度为B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度C.卫星运行时受到的向心力大小为GD.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度解析:由G=m(R+h)得卫星距地面的高度h=-R,故选项A错误;由G=m得v=,第一宇宙
14、速度v1=,同步卫星的速度v卫=,故v卫v1,选项B正确;万有引力提供向心力Fn=,选项C错误;a卫=G,地球表面的重力加速度g=,a卫而使轨道半径变小,运行一段时间后进入内侧圆轨道,由v=知v增大,其动能将增加,选项B、C正确;由于天宫一号做匀速圆周运动,航天员受到的万有引力全部充当其做圆周运动的向心力,处于完全失重状态,选项D错误.答案:BC2.(2013年新课标全国卷,20,6分)目前,在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转,其中一些卫星的轨道可近似为圆,且轨道半径逐渐变小.若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中,只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用,则下列判断正确的是()A.卫星的动能逐渐减小
15、 B.由于地球引力做正功,引力势能一定减小C.由于气体阻力做负功,地球引力做正功,机械能保持不变D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小解析:卫星绕地球在某一圆轨道上运转过程中,地球的引力提供向心力,G=m,由于克服稀薄气体阻力做功,在该轨道时速度减小,则G使卫星向轨道内侧运动,轨道半径逐渐变小,地球的引力对卫星做正功,势能逐渐减小,动能逐渐变大,由于气体阻力做负功,卫星的机械能减小,其中动能增加,势能减小,因此卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小,选项B、D正确.答案:BD点评： 解决卫星运行及变轨问题时,需注意以下几方面:(1)卫星运行时万有引力提供向心力可列出对应方程.(2)明确
16、变轨的力学原理,即提供的力未满足卫星需要的向心力.(3)轨道改变时所涉及的能量变化由功能关系加以分析判断.3.(2013年安徽理综,17,6分)质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时,引力势能可表示为Ep=-,其中G为引力常量,M为地球质量.该卫星原来在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动,由于受到极稀薄空气的摩擦作用,飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2,此过程中因摩擦而产生的热量为()A.GMmB.GMmC.D. 解析:卫星做匀速圆周运动,有=m,变形得mv2=,即卫星的动能Ek=,结合题意,卫星的机械能E=Ek+Ep=-,题述过程中因摩擦产生的热量等于卫星机械能的减少量,即Q=E1
17、-E2=-(-)=.故选项C正确.答案:C点评： 根据功能关系,系统克服摩擦力所做的功(转化为内能)等于系统机械能的减少量.4.(2012年北京理综,18,6分)关于环绕地球运动的卫星,下列说法正确的是()A.分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星,不可能具有相同的周期B.沿椭圆轨道运行的一颗卫星,在轨道不同位置可能具有相同的速率C.在赤道上空运行的两颗地球同步卫星,它们的轨道半径有可能不同D.沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星,它们的轨道平面一定会重合解析:开普勒第三定律=k(常数)知,当椭圆轨道的半长轴与圆轨道的半径相等时,二者周期会相同,A项错误.在椭圆轨道上运行时,当卫星运行至关于长轴对称
18、的两个位置时,速率相等,B项正确.由G=mr,解得r=,对于地球同步卫星其周期T=24小时,故所有地球同步卫星具有相同的轨道半径,C项错误.卫星的轨道平面一定要过地心,过地心和北京的轨道平面有无数个,因此,两颗卫星的轨道平面不一定会重合,D项错误.答案:B5.(2012年安徽理综,14,6分)我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前,“天宫一号”的运行轨道高度为350 km,“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周,则()A.“天宫一号”比“神舟八号”速度大B.“天宫一号”比“神舟八号”周期长C.“天宫一号”比“神舟八号”角速度大D.“天宫一号”比“神舟八号”加速
19、度大解析:万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力:G=m=m2r=mr=ma,可以判断出r越大,v越小,T越大,越小,a越小.由题意可判断“天宫一号”的轨道半径大于“神舟八号”的轨道半径,所以B项正确.答案:B6.(2012年四川理综,15,6分)今年4月30日,西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星,其轨道半径为2.8107 m.它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2107 m)相比()A.向心力较小B.动能较大C.发射速度都是第一宇宙速度D.角速度较小解析:向心力Fn=F万=,故轨道半径越大,向心力越小,故选项A错误;由=m=mr2知半径越大,线速度、角速度越小,而Ek=mv2,故选
20、项B正确,选项D错误;第一宇宙速度是最小发射速度,故选项C错误.答案:B7.(2012年山东理综,15,5分)2011年11月3日,“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接.任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道,等待与“神舟九号”交会对接.变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道,对应的轨道半径分别为R1、R2,线速度大小分别为v1、v2.则等于()A.B.C.D.解析:由于“天宫一号”飞行器绕地球做匀速圆周运动,万有引力充当向心力,则G=m,可得v=,因此变轨前后的线速度大小之比=,选项B正确.答案:B8.(2012年天津理综,3,6分)一人造地球卫
21、星绕地球做匀速圆周运动,假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动,动能减小为原来的,不考虑卫星质量的变化,则变轨前后卫星的()A.向心加速度大小之比为41B.角速度大小之比为21C.周期之比为18D.轨道半径之比为12解析:根据=和Ek=mv2得,变轨前、后的轨道半径之比R1R2=14,D项错误;由a=知a1a2=161,A项错误;由=知12=81,B项错误;由T=知T1T2=18,C项正确.答案:C9.(2011年北京理综,15,6分)由于通信和广播等方面的需要,许多国家发射了地球同步轨道卫星,这些卫星的()A.质量可以不同B.轨道半径可以不同C.轨道平面可以不同D.速率可以不同解析:由=mr知m可
22、约去,选项A正确;由于T=24 h,由上式可知r=为一确定值,选项B错误;同步卫星与地球保持相对静止,与地球自转方向相同,且圆周运动的圆心与地球球心重合,故只能位于赤道正上方的平面内,选项C错误;由=m可求得v大小恒定,选项D错误.答案:A10.(2011年新课标全国理综,19,6分)卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送.如果你与同学在地面上用卫星电话通话,则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于(可能用到的数据:月球绕地球运动的轨道半径约为3.8105 km,运行周期约为27天,地球半径约为6 400 km,无线电信号的传播速度为3108 m/s)()A.0.1 sB.0.25 s
23、C.0.5 sD.1 s解析:对月球,由牛顿第二定律=m月r月同理对同步卫星,得: =m卫(R+h)无线电信号的传播时间t=联立以上三式可得:t0.24 s,所以选项B正确.答案:B11.(2011年山东理综,17,4分)甲、乙为两颗地球卫星,其中甲为地球同步卫星,乙的运行高度低于甲的运行高度,两卫星轨道均可视为圆轨道.以下判断正确的是()A.甲的周期大于乙的周期B.乙的速度大于第一宇宙速度C.甲的加速度小于乙的加速度D.甲在运行时能经过北极的正上方解析:乙的运行高度低于甲的运行高度,两者轨道均可视为圆形,则轨道半径r甲r乙;据天体运动规律得=mr知T=2,所以T甲T乙,故选项A正确;据=知v=.第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度,因乙的轨道半径大于或等于地球半径,所以乙的速度小于或等于第一宇宙速度,故选项B错误;据=ma知a=,所以a甲a乙,故选项C正确;甲为同步卫星,轨道平面跟赤道共面,不可能通过北极正上方,故选项D错误.答案:AC