1、广东省珠海一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若a，b为实数，下列命题正确的是（）A若a|b|，则a2b2B若|a|b，则a2b2C若ab，则a2b2D若a2b2，则ab2（5分）不等式的解集是（）ABCD3（5分）不等式的解集是（）Ax|x2Bx|x2Cx|0x2Dx|x0或x24（5分）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）已知ab0，求的最小值；解答过程：=2求函数y=的最小值；解答过程：可化得y=2设x1，求y=x+的最小值；解答过程：y=x+
2、2，当且仅当x=即x=2时等号成立，把x=2代入2得最小值为4A0个B1个C2个D3个5（5分）已知点A（3，1）和点B（4，6）分别在直线3x2y+a=0两侧，则a的取值范围是（）Aa7或a0Ba=7或a=0C7a0D0a76（5分）等差数列an的前n项和为Sn，若Sn=30，S2n=100，则S3n=（）A130B170C210D2607（5分）递减等差数列an的前n项和Sn满足：S5=S10，则欲Sn最大，必n=（）A10B7C9D7，88（5分）设x，yR+，且xy（x+y）=1，则（）Ax+y2+2Bxy+1Cx+y（+1）2Dxy2+29（5分）目标函数z=2x+y，变量x，y满足
3、，则有（）Azmax=12，zmin=3Bzmax=12，z无最小值Czmin=3，z无最大值Dz既无最大值，也无最小值10（5分）设不等式f（x）0的解集是1，2，不等式g（x）0的解集为，则不等式0的解集是（）AB（，1）（2，+）C1，2DR二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分11（5分）设f（x）=ax2+bx，且1f（1）2，2f（1）4，则f（2）的取值范围用区间表示为12（5分）两个等差数列an，bn，=，则=13（5分）已知a0，b0，a+b=1，则取值范围是14（5分）设数列an的前n项和为Sn，关于数列an有下列四个命题：若an既是等差数列又是等比数列，则Sn
4、=na1；若Sn=2+（1）n，则an是等比数列；若Sn=an2+bn（a，bR），则an是等差数列；若Sn=pn，则无论p取何值时an一定不是等比数列其中正确命题的序号是三、解答题：（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（12分）已知a、b、c、d为实数，比较（a2+b2）（c2+d2）与（ac+bd）2的大小16（13分）已知不等式x22x+30的解集为A，不等式x2+x60的解集为B（1）求AB；（2）若不等式x2+ax+b0的解集为AB，求不等式ax2+x+b0的解集17（13分）数列an中，a1=8，a4=2，且满足an+22an+1+an=0（）求数列a
5、n的通项公式和前n项和Sn；（）数列an从哪一项开始小于0？（）设Tn=|a1|+|a2|+|an|，求Tn18（14分）要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：类 型A规格B规格C规格第一种钢板121第二种钢板113每张钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小？19（14分）数列an满足a1=1，（nN*）（）求证是等差数列；（）若，求n的取值范围20（14分）已知数列bn前n项和数列an满足（nN*），数列cn满足
6、cn=anbn（1）求数列an和数列bn的通项公式； （2）求数列cn的前n项和Tn；（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围广东省珠海一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若a，b为实数，下列命题正确的是（）A若a|b|，则a2b2B若|a|b，则a2b2C若ab，则a2b2D若a2b2，则ab考点：命题的真假判断与应用；不等关系与不等式 专题：不等式的解法及应用分析：利用不等式的性质分别进行判断解答：解：因为a|b|，所以a|b|0
7、，所以a2b2，即A正确若a=0，b=1，满足|a|b，但a2b2，所以B错误若a=0，b=1，满足ab，但a2b2，所以C错误若a=1，b=0，满足a2b2，但ab，所以D错误故选A点评：本题主要考查不等式的性质以及应用，利用特殊值法是快速解决本题的关键2（5分）不等式的解集是（）ABCD考点：一元二次不等式的解法 专题：计算题分析：根据两数相乘的符号法则：同号得正，异号得负，原不等式可化为 或，即可求出不等式的解集，解答：解：不等式，可化为 或，解得：x，解得：x，故选A点评：本小题主要考查一元二次不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想属于基础题3（5分）不等式的解集是（
8、）Ax|x2Bx|x2Cx|0x2Dx|x0或x2考点：其他不等式的解法 专题：分类讨论；不等式的解法及应用分析：利用x大于0和x小于0分两种情况考虑，当x大于0时，去分母得到不等式的解集，与x大于0求出交集即为原不等式的解集；当x小于0时，去分母得到不等式的解集，与x小于0求出交集即为原不等式的解集，求解即可解答：解：当x0时，去分母得：x2，所以原不等式的解集为：（2，+）；当x0时，去分母得：x2，所以原不等式的解集为：（，0），综上，原不等式的解集为：（，0）（2，+）故选：D点评：此题考查了其他不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道基础题学生做题时注意在不等式两边都乘以或除以
9、同一个负数时，不等号要改变4（5分）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）已知ab0，求的最小值；解答过程：=2求函数y=的最小值；解答过程：可化得y=2设x1，求y=x+的最小值；解答过程：y=x+2，当且仅当x=即x=2时等号成立，把x=2代入2得最小值为4A0个B1个C2个D3个考点：命题的真假判断与应用 专题：不等式的解法及应用分析：利用基本不等式成立的条件，对三个求解过程分别进行判断即可得到答案解答：解：基本不等式适用于两个正数，当ab0，均为负值，此时，故的用法有误；y=2，当且仅当，即时取等号，但，故的用法有误；y=x+=y=x1+12+1，当且仅当x1=，即x=+1时取
10、等号，故的用法有误；故使用正确的个数是0个，故选：A点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的三个基本条件：一正，二定，三相等，缺一不可5（5分）已知点A（3，1）和点B（4，6）分别在直线3x2y+a=0两侧，则a的取值范围是（）Aa7或a0Ba=7或a=0C7a0D0a7考点：二元一次不等式（组）与平面区域 专题：计算题分析：由已知点A（3，1）和点B（4，6）分别在直线3x2y+a=0两侧，我们将A，B两点坐标代入直线方程所得符号相反，则我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案解答：解：若点A（3，1）和点B（4，6）分别在直线3x2y+a=0两侧，则3321+
11、a3426+a0即（a+7）a0解得7a0故选C点评：本题考查的知识点是二元一次不等式与平面区域，根据A、B在直线两侧，则A、B坐标代入直线方程所得符号相反构造不等式是解答本题的关键6（5分）等差数列an的前n项和为Sn，若Sn=30，S2n=100，则S3n=（）A130B170C210D260考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：由等差数列性质可得：sn，s2nsn，s3ns2n为等差数列，进而结合题中的条件可得答案解答：解：因为数列an为等差数列，所以由等差数列性质可得：sn，s2nsn，s3ns2n为等差数列即30，10030，S3n100是等差数列，270=30+S3n100，解得
12、S3n=210，故选C点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的性质，利用了等差数列每连续的n 项的和也成等差数列，属于中档题7（5分）递减等差数列an的前n项和Sn满足：S5=S10，则欲Sn最大，必n=（）A10B7C9D7，8考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：由S5=S10可得S10S5=a6+a7+a8+a9+a10=0，根据等差数列的性质可得a8=0，结合等差数列为递减数列，可得d小于0，从而得到a7大于0，a9小于0，从而得到正确的选项解答：解：S5=S10，S10S5=a6+a7+a8+a9+a10=0，根据等差数列的性质可得，a8=0等差数列an递减，d0，即a70，a
13、90，根据数列的和的性质可知S7=S8为Sn最大故选D点评：本题主要考查了等差数列的性质，考查了等差数列的和取得最值的条件a10，d0时数列的和有最大值；a10，d0数列的和有最小值，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键8（5分）设x，yR+，且xy（x+y）=1，则（）Ax+y2+2Bxy+1Cx+y（+1）2Dxy2+2考点：基本不等式 专题：计算题分析：先根据均值不等式可知xy，代入xy=1+x+y中，转化为关于x+y的一元二次不等式，进而求得x+y的最小值，同理求得xy的最小值，即可得到答案解答：解：x，yR+，xy（当且仅当x=y时成立）xy=1+x+y，1+x+y，解得x+y2+2
14、或x+y22（舍），A符合题意，可排除C；同理，由xy=1+x+y，得xy1=x+y2（当且仅当x=y时成立），解得1+或1（舍），即xy3+2从而排除B，D故选A点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用利用基本不等式和整体思想转化为一元二次不等式，再由一元二不等式的解法进行求解，有较强的综合性9（5分）目标函数z=2x+y，变量x，y满足，则有（）Azmax=12，zmin=3Bzmax=12，z无最小值Czmin=3，z无最大值Dz既无最大值，也无最小值考点：简单线性规划 专题：数形结合分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求
15、出可行域直线在y轴上的截距最值情况即可解答：解：先根据约束条件画出可行域，由得A（5，2），由得B（1，1）当直线z=2x+y过点A（5，2）时，z最大是12，当直线z=2x+y过点B（1，1）时，z最小是3，但可行域不包括A点，故取不到最大值故选C点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定10（5分）设不等式f（x）0的解集是1，2，不等式g（x）0的解集为，则不等式0的解集是（）AB（，1）（2，+）C1，2DR考点：其他不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：由题意可得，不等式f（x）0的解集是x|x1，
16、或x2，不等式g（x）0的解集为R，再把这两个集合取交集，即得不等式0的解集解答：解：由于不等式f（x）0的解集是1，2，不等式g（x）0的解集为，可得不等式f（x）0的解集是x|x1，或x2，不等式g（x）0的解集为R，则不等式0的解集为x|x1，或x2，故选：B点评：本题主要考查其它不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分11（5分）设f（x）=ax2+bx，且1f（1）2，2f（1）4，则f（2）的取值范围用区间表示为6，10考点：二次函数的性质 专题：不等式的解法及应用分析：由条件，可得f（2）=4a2b=2f （1）+f（1）f
17、（1）f（1），由此可得结论解答：解：由f （x）=ax2+bx得f（1）=ab ；f（1）=a+b由+得2a=f（1）+f（1），由得2b=f（1）f（1）从而f（2）=4a2b=2f （1）+f（1）f（1）f（1）=3f（1）+f（1）1f（一1）2，3f（1）431+33f（1）+f（1）32+463f（1）+f（1）10f （2）的取值范围是：6f （2）10，即f（2）的取值范围是6，10故答案为：6，10点评：本题考查取值范围的确定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12（5分）两个等差数列an，bn，=，则=考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由题意
18、，=，利用条件，代入计算，即可得出结论解答：解：由题意，=故答案为：点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，比较基础13（5分）已知a0，b0，a+b=1，则取值范围是，2考点：函数的值域 专题：计算题分析：根据a和b的等量关系消去b，然后令=y，利用导数研究该函数在0，1上的最值，从而求出所求的值域解答：解：a0，b0，a+b=1，0a1，0b1，b=1a =y 对y求导，y=当y=0时取得极值，即=，解得a=0，1，此时b=1a=，此时y=2而端点值当x=0时y=，当x=1时 y=的取值范围为：，2故答案为：，2点评：本题主要考查了函数的值域，同时考查了利用导数研究函数的最值
19、，属于中档题14（5分）设数列an的前n项和为Sn，关于数列an有下列四个命题：若an既是等差数列又是等比数列，则Sn=na1；若Sn=2+（1）n，则an是等比数列；若Sn=an2+bn（a，bR），则an是等差数列；若Sn=pn，则无论p取何值时an一定不是等比数列其中正确命题的序号是考点：等比数列的性质；等差数列的性质 专题：综合题分析：对于，直接根据既是等差数列又是等比数列的数列特点来判断即可；对于，直接利用其前n项和，求出通项公式即可判断；对于，直接利用等差数列前n项和公式即可的出结论解答：解：若an既是等差数列又是等比数列，则数列为非0常数列，既an=a1，则Sn=na1成立；若S
20、n=2+（1）n，当n2时，an=SnSn1=（1）n1（1）n，而a1=2+（1）1=1不适合上式，所以an不是等比数列，因为an是等差数列时，符合Sn=an2+bn（a，bR）的形式，故成立；若Sn=pn，当n2时，an=SnSn1=pnpn1=pn1（p1），而a1=S1=p不适合上式，所以an不是等比数列；故只有为真命题故答案为：点评：本题主要 考查等差数列和等比数列的基础知识若an既是等差数列又是等比数列，则数列为非0常数列，既an=a1，Sn=na1三、解答题：（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（12分）已知a、b、c、d为实数，比较（a2+b2）（
21、c2+d2）与（ac+bd）2的大小考点：不等式比较大小 专题：不等式分析：证法1：（分析法）要证（ac+bd）2（a2+b2）（c2+d2），需证其充分条件成立，直到所证关系式显然成立，从而可知原结论成立；证法2：（综合法）a2d2+b2c22abcd，利用重要不等式可得（ac+bd）2=a2c2+b2d2+2abcda2c2+a2d2+b2c2+b2d2=（a2+b2）（c2+d2），从而证得结论成立；证法3：（作差法）易证（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2=（b2c2a2d2）20，从而可知结论成立解答：证法1：（分析法）要证（ac+bd）2（a2+b2）（c2+d2）成立，即
22、证：a2c2+b2d2+2abcda2c2+a2d2+b2c2+b2d2 成立，即证：2abcda2d2+b2c2 成立，即证：0a2d2+b2c22abcd=（ad+bc）2成立，上式明显成立故（ac+bd）2（a2+b2）（c2+d2）证法2：（综合法）因为a2d2+b2c22abcd（重要不等式），所以（ac+bd）2=a2c2+b2d2+2abcda2c2+a2d2+b2c2+b2d2=（a2+b2）（c2+d2）证法3：（作差法）因为（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2（2分）=（a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）（a2c2+b2d2+2abcd）=b2c2+a2d22
23、abcd=（b2c2a2d2）20，所以（ac+bd）2（a2+b2）（c2+d2）点评：本题考查不等式的证明，着重考查分析法、综合法、作差法的应用，考查推理证明能力，属于中档题16（13分）已知不等式x22x+30的解集为A，不等式x2+x60的解集为B（1）求AB；（2）若不等式x2+ax+b0的解集为AB，求不等式ax2+x+b0的解集考点：一元二次不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：（1）由一元二次不等式的解法分别求出集合A，B，再利用集合的交集即可求出；（2）由一元二次方程的实数根与不等式的解集的关系及判别式与解集的关系即可求出解答：解：（1）由不等式x22x30，解得1x3
24、，A=（1，3）；由不等式x2+x60，解得3x2，B=（3，2）AB=（1，2）（2）由不等式x2+ax+b0的解集为AB=（1，2），解得不等式x2+x20可化为x2x+20，=142=70，x2x+20的解集为R点评：熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键17（13分）数列an中，a1=8，a4=2，且满足an+22an+1+an=0（）求数列an的通项公式和前n项和Sn；（）数列an从哪一项开始小于0？（）设Tn=|a1|+|a2|+|an|，求Tn考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（I）由于an+22an+1+an=0，可得数列an是等差数列，再利用等差数
25、列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）由an0，解得n即可得出（III）当n5时，an0|an|=anTn=Sn即可得出当n5时，an0Tn=T5a6a7an=2T5Sn即可得出解答：解：（I）数列an中，a1=8，a4=2，且满足an+22an+1+an=0，数列an是等差数列，设公差为d2=8+3d，解得d=2an=a1+（n1）d=82（n1）=102nSn=n2+9n（II）由an=102n0，解得n5从第6项开始小于0（III）当n5时，an0Tn=Sn=n2+9n当n5时，an0Tn=T5a6a7an=2T5Sn=n29n+40点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和
26、公式、含绝对值符号的数列求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题18（14分）要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：类 型A规格B规格C规格第一种钢板121第二种钢板113每张钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小？考点：简单线性规划 专题：数形结合分析：本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，根据已知条件中解：设用甲种薄金属板x张，乙种薄金属板y张，则可做A种的外壳分别为3x+6y个，A种的外壳分别为5x+6
27、y个，由题意得出约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解解答：解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为zm2，则有作出可行域（如图）目标函数为z=x+2y作出一组平行直线x+2y=t（t为参数）由条件得A（）由于点A不是可行域内的整数点，而在可行域内的整数点中，点（4，8）和点（6，7）使z最小，且最小值为：4+28=6+27=20点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件由约束条件画出可行域分析目标函数Z与直线截距之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到现实问题中19（14分）数列an满足a1=1，（nN*）（）求证是
28、等差数列；（）若，求n的取值范围考点：数列与不等式的综合；数列递推式 专题：综合题分析：（I）由可得：，从而可证；（II）由（I）知，从而有，因此可化简为，故问题得解解答：解：（I）由可得：所以数列是等差数列，首项，公差d=2（II）=解得n16点评：本题主要考查构造法证明等差数列的定义及裂项法求和，属于中档题20（14分）已知数列bn前n项和数列an满足（nN*），数列cn满足cn=anbn（1）求数列an和数列bn的通项公式； （2）求数列cn的前n项和Tn；（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围考点：数列与不等式的综合 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）利用，再写一式，两式相减，即可求得通项bn，进而求得通项an（2）先求得cn，进而利用错位相减法即可求得Tn（3）求出cn的最大值，即可求实数m的取值范围解答：解：（1）由已知和得，当n2时，又b1=1=312，符合上式故数列bn的通项公式bn=3n2又，故数列an的通项公式为，（2），得 =， （3），=，当n=1时，cn+1=cn；当n2时，cn+1cn，若对一切正整数n恒成立，则即可，解得m5或m1点评：本题考查了已知数列的前n项和求通项及利用错位相减法求数列的前n项和，考查恒成立问题，掌握方法是解题的关键