1、第二章 空间向量与立体几何6距离的计算二、点到直线的距离空间距离的分类一、点到点的距离三、平行直线的距离四、点到平面的距离五、平行于平面的直线到该平面的距离六、两平行平面的距离七、异面直线的距离如图，空间一点 A 到直线 l 的距离为 d，点 P 是直线 l 上任意一点，向量 S 是直线 l 的方向向量，能否用向量 S 与 PA表示 d？作，垂足为，则lAA AAAd|cos|0SPASSPAAPAPAPA20222|sPAPAPAPAdAPAls一、点到直线的距离空间一点A到直线l的距离的算法框图例 1 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB=1，BC=2，AA1=3，求
2、点 B 到直线 A1C 的距离解：建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得)3,0,0(1A，)0,2,1(C，)0,0,1(B(1)计算直线CA1的方向向量)3,2,1(1CAzyxD1C1B1A1DCBO(A)(2)找到直线CA1上一点)0,2,1(C(3)求点)0,0,1(B到直线CA1上一点)0,2,1(C的向量)0,2,0(BC(4)求 BC 在CA1上的投影144|11CACABC(5)求点 B 到直线CA1的距离7352|2112CACABCBCd发散思维 如图,直线,向量 是 的方向向量，A是直线l2上任意一点21/lls)(21 llAAdlAAlAAA则显然作过点,21AA
3、l1l2Ps|cos|0SPASSPAAPAPAPA20222|sPAPAPAPAd1、平行直线的距离训练 1 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，已知 AB=1，BC=2，AA1=3，点 E 和 F 分别是棱 D1D1和 B1B1的中点，求直线CE 到直线 A1F 的距离EFzyxD1C1B1A1DCBO(A)解：建立如图的空间直角坐标系，由已知可得)2,0,0(1A，)1,0,1(F，)0,2,1(C(1)计算直线FA1的方向向量)1,0,1(1FA(2)找到直线CE 上一点)0,2,1(C(3)求点)0,2,1(C到直线FA1上一点)1,0,1(F的向量)1,2,0(CF(4)求CF
4、 在FA1上的投影22|11FAFACF(5)求点 B 到直线CA1的距离223|2112FAFACFCFd二、点到平面的距离 dPAAPdA表示和能否用向量一点外是平面的法向量是平面向量内任意一点是平面点的距离为到平面空间点如图nn,AAdAAAA则垂足为作过点的长度上的投影等于线段在向量向量AAPAn|0nPAnnPAdAPAn空间一点A到直线l的距离的算法框图例 2 直三棱柱111CBAABC 的侧棱31 AA，底面 ABC中，90C，1 BCAC，求点1B 到平面BCA1的距离zyxC1B1A1BA(O)C解：建立空间直角坐标系，由已知可得)3,0,1(1A，)0,1,0(B，)0,0
5、,0(C，)3,1,0(1B)3,0,1(1 CA，)0,1,0(CB(1)计算平面BCA1的法向量,设平面BCA1的一个法向量),(zyxn，则003yzx)1,0,3(n(2)计算点1B 到平面BCA1上一点1A 的向量)0,1,1(11BA(3)求点1B 到平面BCA1的距离23|11nnBAd发散思维2、直线与平面的距离dllPnl的距离到平面任意一点，讨论直线上和直线是平面、点平面直线如图A,/,lAPAn3、平面与平面的距离平面的距离计算讨论两平行内任意一点、是平面、点如图平面,/APn 结合有关点到平面的距离的计算方法请同学们讨论一下问题lAPAn|0n PAd|0n PAd训练
6、 2 长方体 ABCD-A1B1C1D1中，已知 AB=4,BC=3,AA1=2,求直线 CD1与平面 A1BC1 间的距离O(A)BCDA1B1C1D1xyz解：建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得)2,0,0(1A，)0,0,4(B，)2,3,4(1C，)0,3,4(C)2,0,4(1BA，)0,3,4(11CA，)2,0,0(1 CC设平面11BCA的一个法向量),(zyxn，则034024yxzx)6,4,3(n616112|1 nn CCd训练 3 正方体1111DCBAABCD 的棱长为 4，FENM，分别是111111DCBADA，11CB，的中点，求平面 AMN 与平面 E
7、FBD 间的距离zyxFENMD1C1B1A1DCBA解：建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得)0,0,4(A，)4,0,2(M，)4,2,4(N，)0,0,0(D)4,0,2(AM，)4,2,0(AN，)0,0,4(AD设平面 AMN 的一个法向量),(zyxn，则042042zyzx)1,2,2(n38|nnADd4、异面直线的距离l2l1nNMPAA的距离讨论异面直线的公垂线是线段量的公共法向是向量是异面直线直线如图21212121,llllMNllnll|0n PAd训练 4 已知正方体1111DCBAABCD 的棱长为1，求一面直线1DA 与 AC 的距离ABCDA1B1C1D1yz解：立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得)0,0,1(A，)1,0,1(1A，)0,1,0(C，)0,0,0(D)1,0,1(1 DA，)0,1,1(AC，)0,0,1(DA设向量1DA，AC 的一个公垂向量),(zyxn，则00yxzx)1,1,1(n33|nnDAd知识总结通过上面的学习，我们我们知道空间中的距离问题有两大类，六小类其中，点到直线距离的计算方法不但可以解决点到直线的距离问题还可以解决两条平行直线之间的距离点到平面距离的计算方法不但可以解决点到平面的距离问题，还可以解决直线与平面的距离、平面与平面的距离以及异面直线的距离问题