1、天津市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一选择题1. 直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+(a-1)y+a2-1=0平行，则a等于（ ）A. -1B. -1或2C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据直线平行关系可得方程组，解方程组求得结果.【详解】由与平行得：，解得：故选：.【点睛】本题考查两直线与平行时有，易错点是忽略直线不能重合，造成增根.2. 过点P(1，2)引直线使两点A(2，3)B(4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ）A. 4x+y-6=0B. x+4y-6=0C. 2x+3y-7=0或x+4y-6=0D. 4x+y-6=0或3x+
2、2y-7=0【答案】D【解析】【分析】当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=1，不成立；当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程.【详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=1，不成立；当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为，即，直线l与两点A (2，3)， B(4，-5）的距离相等，解得或.:.直线l方程为或整理，得：或故选：D【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.3. 过点P(1，4)且在x轴，y轴上的截距的绝对值相等的直线共有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案
3、】C【解析】【详解】当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意，当直线不经过原点时，设直线方程为.由题意得解得或综上，符合题意的直线共有3条.故选：C【点睛】首先明白直线的截距的概念，就是直线和坐标轴的交点的坐标，可正，可负，可0，截距不是距离截距绝对值相等，截距互为相反数，横截距是纵截距的两倍，都要考虑过原点的情况4. 圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ ）A. 36B. 18C. D. 【答案】C【解析】【分析】先看直线与圆的位置关系，如果相切或相离最大距离与最小距离的差是直径；相交时，圆心到直线的距离加上半径为所求【详解】圆x2+
4、y2-4x-4y-10=0的圆心为（2，2），半径为，圆心到到直线x+y-14=0距离为3，所以圆上的点到直线的距离的最大值为，最小值为，因此最大距离与最小距离的差是2r=6，故选C5. 若圆x2+y2+ax-by=0的圆心在第二象限，则直线x+ay-b=0一定不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】由圆心位置确定，的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果.【详解】因为圆的圆心坐标为，由圆心在第二象限可得，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不过第三象限.故选：C6. 已知圆C：x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点
5、，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】圆C化成标准方程，得圆心为C（4，0）且半径r=1，根据题意可得C到直线y=kx2的距离小于或等于2，利用点到直线的距离公式建立关于k的不等式，即可得到k的最大值【详解】圆C的方程为x2+y28x+15=0，整理得：（x4）2+y2=1，可得圆心为C（4，0），半径r=1又直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，点C到直线y=kx2的距离小于或等于2，可得，化简得：3k24k0，解之得0k，可得k的最大值是故选：B7. 过椭圆9x2+25y2
6、=225的右焦点且倾斜角为45的弦长AB的长为（ ）A. 5B. 6C. D. 7【答案】C【解析】【分析】求出焦点坐标和直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得答案.【详解】由9x2+25y2=225得，所以，右焦点坐标为，直线AB的方程为，所以得，设，所以，.故选：C.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的弦长公式，由韦达定理的应用.8. 已知椭圆x2+4y2=12的左、右焦点分别为F1F2，点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，则PF1是PF2的（ ）A. 3倍B. 4倍C. 5倍D. 7倍【答案】D【解析】【分析】由已知得到焦点坐标，设，根据中点坐标公式得到横坐标等于零得到P点
7、坐标，再利用两点间的距离公式可得答案.【详解】由椭圆x2+4y2=12得， ，所以，设，则线段的中点坐标为，因为线段PF1的中点在y轴上，所以，所以，所以，解得，当，所以，当，所以，故选：D.9. 若椭圆2a2x2-ay2=2的一个焦点是(-2，0)，则a=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】方程化为椭圆的标准方程，根据焦点求解即可.【详解】由原方程可得，因为椭圆焦点是(-2，0)，所以，解得，因为，即，所以，故选：C10. 已知AB为椭圆的左、右顶点，F为左焦点，点P为椭圆上一点，且PFx轴，过点A的直线与线段PF交于M点，与y轴交于E点，若直线BM经过OE中点，则椭圆的
8、离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求出三点坐标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出可得答案.【详解】由题意可设，设直线的方程（由题知斜率存在）为，令，可得，令，可得，设的中点为，可得，由三点共线，可得，即，即为，可得，故选：C.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是根据三点共线找到关于的等量关系.二填空题11. 已知点，则线段的垂直平分线的方程是_【答案】【解析】试题分析：先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式解：线段AB的中点为(2， )，垂直平分线的斜率 k=2，线段AB的垂直平分线的方程是
9、 y-=2（x-2），4x-2y-5=0，故答案为考点：直线方程点评：本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法12. 如果x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程，则实数k的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据即可求解.【详解】由即(-2)2+12-4k0，解得kb0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上.（1）求此椭圆C的离心率；（2）若椭圆C的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆C的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及中点坐标公式解得线段AB中点M坐标
10、，代入直线l的方程，解得离心率；（2）利用方程组解得右焦点关于直线l的对称点坐标，代入圆方程，结合（1）解得a，b,即可求出椭圆标准方程.【详解】椭圆C：b2x2+a2y2=a2b2(ab0)，即，（1）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由得： ，即 x1+ x2=，y1+ y2-( x1+ x2)+2=，点M的坐标为（，）又点M在直线l上，=0， （2）由（1）知，设椭圆的右焦点F（b，0）关于直线l： 的对称点为（x0，y0），由，解得 ，显然有 所求的椭圆的方程为【点睛】解决此题的关键在于求出A，B两点的中点坐标，利用中点坐标在直线l：x-2y=0上，建立关于的方程
11、，结合，转化为关于的方程，求出椭圆的离心率.19. 已知，直线，设圆的半径为1，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过作圆的切线，求切线方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）根据圆心在直线上也在直线上，求得圆心坐标，可得过的圆的切线方程.（2）设圆的方程为，再设，根据，求得圆，根据题意，圆和圆有交点，可得，即，由此求得的范围.【详解】解：（1）根据圆心在直线上，若圆心也在直线上，则由，求得，可得圆心坐标为.设过的圆的切线方程为，即，根据圆心到直线的距离等于半径1，可得，求得，或，故切线方程为，或.（2）根据圆心在直线上，可设圆的方程
12、为.若圆上存在点，使，设，化简可得，故点在以为圆心、半径等于2的圆上.根据题意，点也在圆上，故圆和圆有交点，即，求得，且，解得.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，圆的标准方程，考查学生的数学抽象能力与计算能力，属于中档题.20. 已知直线l：x=my+1过椭圆C：b2x2+a2y2=a2b2(ab0)的右焦点F，且交椭圆C于AB两点，点AB在直线G：x=a2上的射影依次为点DE.（1）若，其中O为原点，A2为右顶点，e为离心率，求椭圆C的方程；（2）连接AF，BD，试探索当m变化时，直线AE，BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否
13、则说明理由.【答案】（1）（2）相较于定点，证明见解析.【解析】【分析】（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，由已知等式可得，进而得到，即可得到椭圆方程；（2）当时，求得，的交点，猜想定点，当时，分别设，的坐标为，由题意可得，联立直线的方程和椭圆方程，运用韦达定理，结合三点共线的性质，计算直线，的斜率，可判断，共线，同理可判断，共线，即可得到定点【详解】（1）椭圆的方程为，设椭圆的半焦距为，由题意可得，由，可得，即有，即，解得，则，所以椭圆的方程为；（2）当时，直线垂直于轴，可得四边形为矩形，直线，相交于点，猜想定点，；当时，分别设，的坐标为，由题意可得，由可得，由，由，又，则，即，所以，三点共线；同理可得，三点共线则直线，相交于一定点，【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题