1、第2节导数的应用第1课时导数与函数的单调性一、教材概念结论性质重现导数与函数的单调性的关系条件结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在(a，b)内单调递增f(x)0在区间(a，b)上成立”是“f(x)在区间(a，b)上单调递增”的充分不必要条件二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么一定有f(x)0.( )(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内不具有单调性( )(3)若在区间(a，b)内f(x)0且f(x)0的根为有限个，则f(x)在区间(a，b)内是减函数( )
2、2已知函数f(x)的导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的图像可能是()A B C DC解析：由导函数f(x)的图像可知，函数yf(x)先减再增，可排除选项A，B；又f(x)0的根为正数，即yf(x)的极值点为正数，所以可排除选项D.故选C.3函数f(x)x33x1的单调递增区间是()A(1,1) B(，1)C(1，) D(，1)，(1，)D解析：f(x)3x23.由f(x)0得x1.故函数f(x)x33x1的单调递增区间是(，1)，(1，)故选D.4已知函数f(x)，则()Af(2)f(e)f(3) Bf(3)f(e)f(2)Cf(3)f(2)f(e) Df(e)f(3)f(2)D解
3、析：f(x)的定义域是(0，)因为f(x)，所以x(0，e)时，f(x)0；x(e，)时，f(x)f(3)f(2)5若函数f(x)sin xkx在(0，)上是增函数，则实数k的取值范围为_1，)解析：因为f(x)cos xk0，所以kcos x，x(0，)恒成立当x(0，)时，1cos x0，即8x0，解得x，所以函数y4x2的单调递增区间为.故选B.2函数f(x)3xln x的单调递减区间是()A. B.C. D.B解析：因为函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)ln xxln x1.令f(x)0，解得0x，所以f(x)的单调递减区间是.3已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin x
4、cos x，则f(x)的单调递增区间为_，解析：f(x)sin xxcos xsin xxcos x令f(x)xcos x0，则其在区间(，)上的解集为，即f(x)的单调递增区间为，.求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)在定义域内解不等式f(x)0，得函数f(x)的单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f(x)0，则当x(，0)和时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减若a0，则f(x)在(，)上单调递增若a0；当x时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上为增函数(2)当a0时，f(x)，则有：当x(0，)时，f
5、(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(，)综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；当a0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，)解决含参数的函数单调性问题的注意点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点已知f(x)xexa(a0)，求函数f(x)的单调区间解：f(x)(x1)(exa)，令f(x)0，得x1或xln a.(1)当a时，f(x)0恒成立，所以f(x)在R上单调递增(2)当0a时，ln a0，得x1，由f(x)0，
6、得ln ax时，ln a1，由f(x)0，得xln a，由f(x)0，得1xln a，所以单调递增区间为(，1)，(ln a，)，单调递减区间为(1，ln a)综上所述，当a时，f(x)在R上单调递增；当0a时，f(x)的单调递增区间为(，1)，(ln a，)，单调递减区间为(1，ln a)考点3导数与函数单调性的简单应用综合性考向1利用导数解不等式若函数f(x)exexsin 2x，则满足f(2x21)f(x)0的x的取值范围是()A.B.(，1)C.D.(1，)B解析：函数f(x)exexsin 2x，定义域为R，且满足f(x)exexsin(2x)(exexsin 2x)f(x)，所以f
7、(x)为R上的奇函数又f(x)exex2cos 2x22cos 2x0恒成立，所以f(x)为R上的单调递增函数由f(2x21)f(x)0，得f(2x21)f(x)f(x)，所以2x21x，即2x2x10，解得x1或x.所以x的取值范围是(，1).故选B.利用导数解不等式的关键，是用导数判断函数的单调性，或者构造函数后使用导数同时根据奇偶性变换不等式为f(g(x)f(h(x)，利用单调性得出关于g(x)，h(x)的不等式，解此不等式得出范围考向2利用导数比较大小(多选题)(2021山东新高考预测卷)定义在上的函数f(x)，已知f(x)是它的导函数，且恒有cos xf(x)sin xf(x)f B
8、.f f Cf f D.f f CD解析：构造函数g(x)，则g(x)g，所以f f .同理，gg，即f f .故选CD.利用导数比较大小的方法利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并得到辅助函数的单调性，进而根据单调性比较大小考向3利用导数求参数的取值范围已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解：(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2.因为h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(
9、0，)时，ax20有解，即a有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)21，所以G(x)min1，所以a1.又因为a0，所以a的取值范围为(1,0)(0，)(2)因为h(x)在1,4上单调递减，所以当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立由(1)知G(x)，所以aG(x)max.而G(x)21.因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a.又因为a0，所以a的取值范围是(0，)本例第(2)问中，若h(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围解：若h(x)在1,4上存在单调递减区间，则h(x)0在1,4上有解，所以当x1,4时，a有解又当x1,4时，min
10、1，所以a1.又因为a0，所以a的取值范围是(1,0)(0，)根据函数的单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在区间(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f(x)单调递增的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，要注意等号是否可以取到(3)注意区分“在区间上恒成立”与“在区间上存在x值使不等式成立”的区别分离参数后对应不同的最值类型1(2021八省联考)已知a5且ae55ea，b4且be44eb，c3且ce33ec，则()Acba BbcaCacb DabcD解析：因为ae55ea，a0.
11、同理，b0，c0.令f(x)，x0，则f(x).当0x1时，f(x)1时，f(x)0.故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增因为ae55ea，a5，所以，即f(5)f(a)而0a5，所以0a1.同理，0b1,0cf(4)f(3)，所以f(a)f(b)f(c)所以0abc0，且a1，函数f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围是()A(1,5 B2,5C(1，) D(，5B解析：函数f(x)在R上单调递增，则a1.当x1时，f(x)x2aln x，则f(x)2x.因为2x3ax40在1，)上恒成立，所以a2x2在1，)上恒成立因为y2x2在1，)上单调递减，所以ymax2，则a
12、2.当x1时，a145.综上，实数a的取值范围是2,5故选B.3已知函数f(x)x2cos x，x，则满足f(x0)f的x0的取值范围为_解析：f(x)2xsin x当x时，f(x)0，所以f(x)在上单调递增由f(x0)f，知x0.又因为f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数，所以x0，得x1；令f(x)0，得0x1.所以f(x)的单调递增区间是(1，)，单调递减区间是(0,1)(2)由题意g(x)x2aln x，g(x)2x.若函数g(x)为1，)上的单调递增函数，则g(x)0在1，)上恒成立，即a2x2在1，)上恒成立设(x)2x2.因为(x)在1，)上单调递减，所以(x)max(1)0
13、，所以a0.若函数g(x)为1，)上的单调递减函数，则g(x)0在1，)上恒成立，即a2x2在1，)上恒成立因为(x)没有最小值，不满足题意，所以实数a的取值范围为0，)若函数f(x)x3ax21在区间1,2上单调递减，求实数a的取值范围四字程序读想算思求实数a的取值范围1.利用导数研究函数单调性的方法；2从什么角度列不等式求取值范围1.求f(x)；2解不等式f(x)0转化与化归、数形结合f(x)在1,2上单调递减由函数f(x)在区间a，b上单调递减可知f(x)0在区间a，b上恒成立，列出不等式f(x)3x22ax x(3x2a)1.函数最值；2不等式恒成立；3一元二次不等式、一元二次方程和二
14、次函数之间的关系思路参考：等价转化为f(x)0对x1,2恒成立，分离变量求最值解：f(x)3x22ax.由f(x)在1,2上单调递减知f(x)0，即3x22ax0在1,2上恒成立，即ax在1,2上恒成立故只需amax，故a3.所以a的取值范围是3，)思路参考：等价转化为f(x)0对x1,2恒成立，数形结合列不等式组求范围解：f(x)3x22ax.由f(x)在1,2上单调递减知f(x)0对x1,2恒成立所以解得a3.所以a的取值范围是3，)思路参考：分类讨论f(x)的单调性，根据区间1,2是单调递减区间的子集求参数范围解：f(x)3x22ax.当a0时，f(x)0，故yf(x)在(，)上单调递增
15、，与yf(x)在区间1,2上单调递减不符，舍去当a0时，由f(x)0，得0xa，即f(x)的单调递减区间为.由f(x)在1,2上单调递减得a2，得a3.综上可知，a的取值范围是3，)1本题考查函数的单调性与导数的关系，解法较多，基本解题策略是转化为不等式恒成立问题，即“若函数f(x)在区间D上单调递增，则f(x)0对xD恒成立；若函数f(x)在区间D上单调递减，则f(x)0对xD恒成立”或利用集合间的包含关系处理：若yf(x)在区间D上单调，则区间D是相应单调区间的子集2基于课程标准，解答本题一般需要运算求解能力、推理论证能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养3基于高考数学评价体系，本题利用
16、函数的单调性与导函数的关系，将所求问题转化为熟悉的数学模型，解题过程需要知识之间的转化，体现了综合性1已知函数f(x)2cos x(msin x)3x在(，)上单调递减，则实数m的取值范围是()A.1,1 B.C. D.B解析：f(x)2sin x(msin x)2cos x(cos x)3.因为f(x)在(，)上单调递减，所以f(x)0恒成立，整理得4sin2x2msin x50.设sin xt(1t1)，则不等式g(t)4t22mt50在区间1,1上恒成立于是有即故实数m的取值范围是.故选B.2已知函数f(x)x3kx在(3,1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是_(0,27)解析：(方
17、法一：间接法)若f(x)x3kx在(3,1)上单调递增，则f(x)3x2k0在(3,1)上恒成立，即k3x2在(3,1)上恒成立，故k0.若f(x)x3kx在(3,1)上单调递减，则f(x)3x2k0在(3,1)上恒成立，即k3x2在(3,1)上恒成立，故k27.所以当函数f(x)x3kx在(3,1)上是单调函数时，实数k的取值范围是k0或k27，当函数f(x)x3kx在(3,1)上不是单调函数时，实数k的取值范围是0k0时，由f(x)3x2k0，得x0，得x，在，上f(x)是增函数要满足函数f(x)x3kx在(3,1)上不是单调函数，由对称性得，3，所以k27.综上所述，实数k的取值范围是(0,27)