1、第二章22.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征课前自主预习 方法警示探究思路方法技巧探索延拓创新课后强化作业随堂应用练习课前自主预习温故知新上一节我们学习了用图表来组织样本数据，并且还学习了用样本的频率分布估计总体分布为了更好地把握总体的规律，我们还需要对总体的数字特征进行研究在初中，我们已经学过平均数描述了数据的水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平我们也知道可以用样本的平均数去估计总体的平均水平，而样本数据的方差、标准差则反映了数据的离散程度方差或标准差越，数据越集中，总体越均衡；方差或标准差越，数据越分散，总体越不均衡而中位数则是指样本数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列后，处
2、于位置的一个量，当样本数据个数为奇数时，就是中位数，它是样本数平均小大中间中间一个数据据；当样本数据个数为偶数时，中位数则是中间两个数据的，当这两个数据相等时，中位数是样本数据，否则它不是样本数据，众数则是指在样本数据中出现次数的数据，众数不一定通过本节的学习，我们会更深刻地理解这些数字特征，并能通过频率分布直方图去估算它们，这也是我们学习的重点和难点所在平均数最多唯一新课引入在欧洲国家，每当飞机发生空难，乘客对飞机的安全系数产生怀疑时，常听到航空公司的有关人士辩解说：“乘坐飞机还是比乘坐火车安全的”理由是：飞机飞行10万千米才死亡1人，而火车行驶5万千米就有1人死亡你认为这个结论正确吗，能否
3、给出合理的解释呢？自主预习阅读教材P7178，回答下列问题1众数(1)定义：一组数据中出现次数的数称为这组数据的众数(2)特征：一组数据中的众数可能个，也可能没有，反映了该组数据的最多不止一集中趋势破疑点 众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征一组数据：3,2,5,7,5,4,3,5的众数是_解析 在该组数据中，3出现两次，2,4,7分别出现一次，5出现三次，5出现的次数最多，所以5为众数答案 5 2中位数(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于位置的数称为这组数据的中位数(2)特征：一组数据中的中位数是的，反映了该组数据的在频率分布直方图
4、中，中位数左边和右边的直方图的面积中间唯一集中趋势相等破疑点 中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点一组数据3，1，2,1,9,5的中位数是_答案 2 解析 把这组数据按从小到大的顺序排列：2，1，1,3,5,9，则中间有两个数1和3，取其平均数，2为中位数规律 n个数据按大小依次排列，当n为奇数时，则中间位置仅有一个数，这个数就是中位数；当n为偶数时，则中间位置有两个数，取这两个数的平均数为中位数3平均数(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商数据x1，x2，xn的平均数为 x n.x1x2xnn(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用
5、，代表该组数据的任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的，但平均数受数据中的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低平均水平信息极端值(1)一组数据：2，1,3,1，7,0的平均数是_解析 平均数x 21317061.答案 1(2)在一组数据中，共有10个数，其中3出现2次，9出现4次，3出现1次，5出现3次，则这组数据的平均数为_答案 5.4 解析 3出现2次，其积为6,9出现4次，其积为36，3出现1次，5出现3次，其积为15，则这10个数据之和为63631554，则这组数据的平均数 x 54
6、105.4.规律 一般地，若取值为x1，x2，xn的频率分别为p1，p2，pn，则其平均数为xx1p1x2p2x3p3xnpn(其中p1p2pn1)像这样运用频率计算的平均值称为加权平均数4标准差(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算s.可以用计算器或计算机计算标准差1nx1x 2x2x 2xnx 2(2)特征：标准差描述一组数据围绕波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小标准差较大，数据的离散程度较；标准差较小，数据的离散程度较平均数大小现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这个数组的标准差是()A1 B2
7、C3 D4答案 A 解析 由s21n(x21x22x2n)x 2，得s2 110100321.5方差(1)定义：标准差的平方，即s2(2)特征：与的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小(3)取值范围：1n(x1x)2(x2x)2(xnx)标准差0，)知识拓展 数据组x1，x2，xn的平均数为 x，方差为s2，标准差为s，则数据组ax1b，ax2b，axnb(a，b为常数)的平均数为a x b，方差为a2s2，标准差为as.(1)下列刻画一组数据离散程度的是()A平均数B方差C中位数D众数答案 B(2)计算10,11,12,11,14,8的方差解析 方法1：x 16(101112111
8、48)11，s2 16(1011)2(1111)2(1211)2(1111)2(1411)2(811)216(101099)103.方法2：由于该组数据都集中在11附近，故每一个数据都减去11得到一组新数据：1,0,1,0,3，3，该组数据的方差与原数据组方差相等x10，s216(1)202120232(3)2103.归纳总结 方法2适用于每个数据都比较接近同一个数的问题，当数据又大又多时，更能体现方法2的优越性6用样本估计总体现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数、众数、中位数、标准差、方差是不知道的，因此，通常用的平均数、众数、中位数、标准差、方差来估计这与上一节用的频率分布来近
9、似地代替总体分布是类似的只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的样本样本归纳总结 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差，样本容量越大，估计就越精确(1)下列判断正确的是()A样本平均数一定小于总体平均数B样本平均数一定大于总体平均数C样本平均数一定等于总体平均数D样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数答案 D(2)电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得数据如下(单位：小时)：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21，则该日生产电池的平均寿命估计为()A27 B28 C29 D30答案 B 解
10、析 这10个数据的平均数是 110(30352525303426252921)28，则该日生产的电池的平均寿命估计为28小时随堂应用练习1下列说法错误的是()A在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体B一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大答案 B 2在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体数据的()A平均状态 B分布规律C离散程度D最大值和最小值答案 C 3如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为()A3与3 B23与3C3与23 D23与23
11、答案 D 解析 中位数是指一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列，处在中间位置的一个数(或最中间两个数据的平均数)，从茎叶图中可知中位数为23；众数是指一组数据中出现次数最多的数，从茎叶图中可知23出现了3次，次数最多，因此众数也是23，所以选D.4(2012山东卷)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A众数B平均数C中位数D标准差答案 D解析 样本数据都加2后所得数据的波动性并没有发生改变，所以标准差不变，故选D.5抛硬币20次，正面12
12、次，反面8次如果抛到正面得3分，抛到反面得1分，则平均得分是_，得分的方差是_答案 2.2 0.96 解析 总得分为1238144，则平均分是 4420 2.2，方差s2 120(32.2)212(12.2)280.96.6某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2y2_.答案 208解析 由平均数为10，得(xy10119)1510.则xy20；又由于方差为2，则(x10)2(y10)2(1010)2(1110)2(910)2152，整理得x2y220(xy)192，则x2y220(xy)1922020192208.7某
13、校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示(1)求这次测试数学成绩的众数；(2)求这次测试数学成绩的中位数；(3)求这次测试数学成绩的平均分分析 根据直方图中的数据及众数、中位数、平均数的定义可解此题解析(1)由图知众数为7080275.(2)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.30.40.5，因此中位数位于第四个矩形内，0.10.03(x70)，x73.3.(3)由图知这次数学成绩的平均分为：405020.00510506020.01510607020.0210708020.03108090
14、20.025109010020.051072.8某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：甲127138130137135131乙133129138134128136求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛解析 设甲乙两人的平均数分别为 x 甲，x 乙，则 x 甲13016(380751)133，x 乙13016(318426)133，s2甲16(6)252(3)24222(2)2473，s2乙1602(4)25212(5)232383.因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适