1、考点规范练14导数与函数的单调性、极值、最值考点规范练B册第8页基础巩固组1.(2015江西九江模拟)函数f(x)=(x-3)ex的递增区间是() A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+)答案:D解析:函数f(x)=(x-3)ex的导数为f(x)=(x-3)ex=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f(x)0时,函数f(x)递增,此时由不等式f(x)=(x-2)ex0,解得x2.2.(2015长春调研)已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a0”是“f(x)在R上递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要
2、条件答案:A解析:f(x)=x2+a,当f(x)在R上递增时,f(x)0恒成立,则a0,故“a0”是“f(x)在R上递增”的充分不必要条件.3.设函数f(x)=x2-9ln x在区间a-1,a+1上递减,则实数a的取值范围是()A.1a2B.a4C.a2D.00),当x-0,即00,且a+13,解得1a2.4.设aR,若函数y=ex+ax,xR有大于零的极值点,则()A.a-1C.a-D.a0时,-ex-1,a=-exk1,则下列结论中一定错误的是()A.fB.fC.fD.f导学号32470735答案:C解析:构造函数F(x)=f(x)-kx,则F(x)=f(x)-k0,函数F(x)在R上为递
3、增函数.0,FF(0)=f(0)=-1.即f-1=,f,故C错误.6.(2015东北八校月考)已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为.导学号32470736答案:4解析:f(x)=3x2+6ax+3b,解得f(x)=3x2-6x,令3x2-6x=0,得x=0或x=2,f(x)极大值-f(x)极大值=f(0)-f(2)=4.7.(2015成都一诊)已知函数f(x)=-2x2+ln x(a0).若函数f(x)在1,2上为单调函数,则a的取值范围是.答案:1,+)解析:f(x)=-4x+,
4、若函数f(x)在1,2上为单调函数,即f(x)=-4x+0或f(x)=-4x+0在1,2上恒成立,即4x-4x-在1,2上恒成立.令h(x)=4x-,则h(x)在1,2上递增,所以h(2)或h(1),即3,又a0,所以00,即在,(1,+)上,函数f(x)递增,若f(x)0)上的最小值.解:(1)当a=5时,g(x)=(-x2+5x-3)ex,g(1)=e.又g(x)=(-x2+3x+2)ex,故切线的斜率为g(1)=4e.所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.(2)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=ln x+1,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x
5、f(x)-0+f(x)极小值当t时,在区间t,t+2上f(x)为增函数,所以f(x)min=f(t)=tln t.当0t0,x+2.1.k1.12.已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在t,t+1上不单调,则t的取值范围是.答案:(0,1)(2,3)解析:由题意知f(x)=-x+4-=-.由f(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3.则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间t,t+1上就不单调,由t1t+1或t3t+1,得0t1或2t0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.解:(1)由函数f(x)的图像过点(-1,-6),得m-n=-3.由f
6、(x)=x3+mx2+nx-2,得f(x)=3x2+2mx+n,则g(x)=f(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.而g(x)的图像关于y轴对称,所以-=0,所以m=-3.代入得n=0.于是f(x)=3x2-6x=3x(x-2).由f(x)0得x2或x0,故f(x)的递增区间是(-,0)和(2,+);由f(x)0,得0x2,故f(x)的递减区间是(0,2).(2)由(1)得f(x)=3x(x-2),令f(x)=0得x=0或x=2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,0)0(0,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值由此可得:当0a1时,f(x)在(a-1
7、,a+1)内有极大值f(0)=-2,无极小值;当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;当1a3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值;当a3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.综上得,当0a1时,f(x)有极大值-2,无极小值;当1a0,函数f(x)在(0,+)上递增.当a0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,由于=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),当a=-时,=0,f(x)=0,函数f(x)在(0,+)上递减.当a-时,0,g(x)0,f(x)0,函数f(x)在(0,+)上递减.当-a0.设x1,x2(x10,所以x(0,x1)时,g(x)0,f(x)0,f(x)0,函数f(x)递增;x(x2,+)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)递减.综上可得,当a0时,函数f(x)在(0,+)上递增;当a-时,函数f(x)在(0,+)上递减;当-a0时,f(x)在,上递减,在上递增.