1、通州区高三年级期末考试数学（理）试卷2013年1月本试卷分第I卷和第II卷两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页，共150分考试时间长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第卷 （选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知集合，则（A） （B） （C）（D）【答案】C【KS5U解析】因为，所以，选C.2在复平面内，复数对应的点位于 （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 【答案】B【KS5U解析】,，对应的点的坐标为，所以在第二象限，选B
2、.3已知圆的直角坐标方程为在以原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（A）（B）（C）（D）【答案】A【KS5U解析】因为在极坐标系中，代入方程得，即，选A.4设函数则（A）（B）（C）（D）【答案】D【KS5U解析】，所以，选D.5一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是正（主）视图侧（左）视图俯视图（A）（B）（C）（D）【答案】B【KS5U解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的底面积为，侧面积为，所以表面积为，选B.6执行如图所示的程序框图，输出的值为 （A）（B）（C）（D）【答案】B【KS5U
3、解析】由程序框图可知，当时，满足条件，即，所以该程序是求的程序，所以，选B.7在中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【KS5U解析】若，由正弦定理得，即，所以，即，所以，即，所以是等腰三角形。若是等腰三角形，当时，不一定成立，所以“”是“是等腰三角形”的充分不必要条件，选A.8已知直线和直线，抛物线上一动点到直线 和直线的距离之和的最小值是（A） （B） （C） （D）,【答案】B【KS5U解析】因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。所以设到准线的距离为,则。到直线的距离为，所
4、以,其中为焦点到直线的距离，所以，所以距离之和最小值是2，选B. 第卷 （非选择题 共110分）二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)9如图，已知，则圆的半径OC的长为 【答案】【KS5U解析】取BD的中点，连结OM，则,因为，所以，所以，所以半径，即。10已知满足约束条件则的最大值为【答案】【KS5U解析】作出不等式组对应的可行域，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时最大。由解得，即，代入得。11若，则的最小值为【答案】【KS5U解析】由得，因为，所以，根据均值定理得，当且仅当，即，即时取等号，所以的最小值为1.12在边长为的等边中，为边上一动点，则的取值范
5、围是【答案】【KS5U解析】因为D在BC上，所以设，则。所以，因为，所以，即的取值范围数。13奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是【答案】【KS5U解析】因为奇函数在上单调递减，所以函数在上单调递减。由得，所以由，得，所以，即实数的取值范围是。14对任意两个实数，定义若，则的最小值为【答案】【KS5U解析】因为，所以时，解得或。当时，即，所以，做出图象，由图象可知函数的最小值在A处，所以最小值为。三、解答题（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数（）求的最小正周期； （）求函数在的最大值和最小值16.（本小题满分14
6、分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1底面ABC，AC=BC=2，CC1=4，M是棱CC1上一点（）求证：BCAM；（）若N是AB上一点，且，求证：CN /平面AB1M；（）若，求二面角A-MB1-C的大小17（本小题满分13分）2 1 2 44 3 1 1 1 1 0 2 57 1 0 8 9甲 乙某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）.（）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所
7、抽取两件样品重量之差不超过2克的概率 18.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点的距离为，过焦点F作直线，交椭圆于两点（）求这个椭圆的标准方程；（）若椭圆上有一点，使四边形恰好为平行四边形，求直线的斜率19.（本小题满分13分）已知函数（）若函数在处有极值为10，求b的值；（）若对于任意的，在上单调递增，求b的最小值20.（本小题满分13分）现有一组互不相同且从小到大排列的数据，其中记，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线（）求和的值；（）设直线的斜率为，判断的大小关系；（）证明：当时， 通州区2012 2013学年度第一学期期末试卷答案 高三数学（理科） 201
8、3.1第卷（选择题 共40分）一、 选择题题号12345678答案CBADBBAB二、 填空题9 1011121314 三、解答题15解：（）由已知，得 2分， 4分所以，即的最小正周期为； 6分（）因为，所以 7分于是，当时，即时，取得最大值； 10分当时，即时，取得最小值13分16证明：（）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1平面ABC，所以 CC1BC 1分因为AC=BC=2， 所以由勾股定理的逆定理知BCAC 2分又因为ACCC1=C，所以BC平面ACC1A1 3分因为AM平面ACC1A1，所以BCAM 4分 （）过N作NPBB1交AB1于P，连结MP ，则NPCC1，且 5分于是有
9、 由已知，有因为BB1=CC1所以NP=CM所以四边形MCNP是平行四边形 6分所以CN/MP 7分因为CN平面AB1M，MP平面AB1M， 8分所以CN /平面AB1 M 9分（）因为 BCAC，且CC1平面ABC，所以 以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz10分因为 ，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)， 11分设平面的法向量，则，即 令，则，即 12分又平面MB1C的一个法向量是， 所以 13分由图可知二面角A-MB1-C为锐角，所以 二面角A-MB1-C的大小为 14分17解：（）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为
10、、，方差分别为 、， 则， 1分 ， 2分 ， 4分 ， 6分由于 ，所以 甲车间的产品的重量相对稳定；7分（）从乙车间件样品中随机抽取两件，结果共有15个： 9分设所抽取两件样品重量之差不超过克的事件为A，则事件A共有4个结果： 11分所以 13分18解: （）由已知，可设椭圆方程为， 1分则 ， 2分所以， 3分所以椭圆方程为 4分（）若直线轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线对称，此时点C坐标为因为 ，所以点C在椭圆外，所以直线与轴不垂直 6分于是，设直线的方程为，点， 7分则 整理得， 8分， 9分所以 10分因为 四边形为平行四边形，所以 ， 11分所以 点的坐标为， 12
11、分所以 ， 13分解得，所以14分 19解：（）， 1分于是，根据题设有 解得 或 3分当时，所以函数有极值点； 4分当时，所以函数无极值点5分所以6分（）法一：对任意，都成立，7分所以 对任意，都成立8分因为 ,所以 在上为单调递增函数或为常数函数， 9分所以 对任意都成立 10分即 . 11分又，所以当时，12分所以，所以的最小值为 13分法二：对任意，都成立， 7分即对任意，都成立，即 8分令，9分当时，于是；10分当时，于是， 11分又 ，所以 12分综上，的最小值为 13分20（）解：， 2分； 4分（）解：， 6分因为，所以 8分（）证：由于的图象是连接各点的折线，要证明，只需证明 9分事实上，当时，下面证明法一：对任何，10分11分 12分所以13分法二：对任何，当时，；10分当时，综上， 13分