1、【课标要求】1、理解直线与平面夹角的概念。2、会利用向量方法求解直线与平面的夹角。【核心扫描】1、掌握直线与平面夹角的求解方法。（重点）2、直线的方向向量与平面的法向量同直线与 平面夹角的关系的推导。（难点）3、在线面角中渗透数形结合思想。（方法）平面外一条直线与他在该平面内的-的夹角叫该直线与此平面的夹角。投影 斜线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角为 锐角AOB当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成的角是90 0 斜线与平面所成的角（0,90）直线与平面所成的角 0,901.若斜线段AB的长度是它在平面内的射影长的2倍
2、，则AB与平面所成的角为。60ABO2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1C1与面BB1C1C所成的角；.45oA1D1C1B1ADCB2n BA，ABO,1、设平面 的法向量为，则与 的关系？nn BAnnBAAB2n BA，xzA1D1C1B1ABCDOy例1、如图，在空间直角坐标系中有单位 正方体ABCD-A1B1C1D1，求对角线A1C 与平面ABCD的夹角 的正弦值.1取,(0,0,1).sA C n1解:设对角线的方向向量为,平面的法向量为,A CsABCDnxzA1D1C1B1ABCDOy3sinsin(,)cos,23s ns n 故)1,1,1(),0,1,1(
3、),1,0,0(11CACA所以因为.33|,cosnsnsns从而,2s n故1,2A CABCDs n 所以与平面的夹角xzA1D1C1B1ABCDOyFE1 1 1 11 11 1例2、如图,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A B C D,E,F分别是B C,A D 的中点,求:直线AC与平面ABEF的夹角的正弦值.:(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0)(1,1,0).(,)ABCACABEFnx y z解因为所以设平面的法向量是xzA1D1C1B1ABCDOyFE)1,21,0(),0,0,1(AFAB因为.021,0zyx得00nABnAF则xzA1D1C1B1AB
4、CDOyFE,2ACABEFn AC 故直线与平面的夹角1(0,1,),2n 取得5221210cos,05|10nACn ACnAC,2n AC所以10sinsin(,)cos,.25n ACn AC 所以我思故我在1、结论：sin|cos,|n AB巩固提高(1,1,1),平面 的法向量为(1,2,1),求直线与平面夹角的余弦值。1、已知直线l的方向向量为sn2、正方体1111ABCDABC D的棱长为1.111.B CAB C求直线与面所成夹角的正弦值ABCD1A1B1C1Dxyzxyz(0 0 0)A，1(1 01)B，(110)C，2、解：建立如图直角坐标系，则1(101)(110)
5、ABAC，1(111)C，11(010)B C 则，1()AB Cnxyz设为，平面的法向量100n ABn AC则，0=10=-1xzxyn=(1-1-1)，xyz所以取得故110 1 03cos313n B C ，1113所以B C 与面AB C所成的角的正弦值为。3ABCD1A1B1C1D求直线l与平面的夹角的方法与步骤方法一：定义法（1）找过斜线上一点与平面垂直的直线（2）连接垂足与斜足，得出斜线在平面上的射影，确定出要求的角。（3）把该角置于三角形中计算方法二：利用法向量计算 的步骤如下：1、在空间直角坐标系中有单位 正方体ABCD-A1B1C1D1，E是A1D1的中点.求直线CE与平面ABCD的夹角 的余弦值.xzA1D1C1B1ABCDOyE如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求A1B与平面A1B1CD所成的角。（用两种方法求解）ABCDA1B1C1D1 O300课后探究
