1、3 二倍角的三角函数考 纲 定 位重 难 突 破1.以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，了解它们的内在联系2.能运用二倍角公式推导出半角公式，理解倍角公式和半角公式的内在联系、结构特点3.熟练掌握二倍角的余弦公式及其变形4.能用三角函数的相关公式解决三角函数的综合问题.重点：1.二倍角的正弦、余弦、正切公式及其应用2.半角公式的应用难点：二倍角、半角公式的灵活应用.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理1二倍角公式2半角公式双基自测1sin 75cos 75的值等于()A.14 B.12C.32D1解析：s
2、in 75cos 7512sin 15014.答案：A2若 x 12，则 cos2xsin2x 的值等于()A.14B.12C.22D.32解析：cos2xsin2xcos 2xcos6 32.答案：D3已知 tan 34，则 tan 2 等于()A.724B 724C.247D247解析：tan 2 2tan 1tan22341342247.答案：D探究一 利用倍角、半角公式求值典例 1(1)已知 x(4，2)，sin(4x)35，求 cos 2x 的值；(2)已知 sin(90)35，且 180270，求 tan2.解析(1)解法一 sin(4x)35，x(4，2)，4x(4，0)，cos
3、(4x)45，cos 2xsin(22x)sin2(4x)2sin(4x)cos(4x)2(35)452425.解法二 由已知条件得 cos xsin x3 25.将此式两边平方得 2sin xcos x 725，sin 2x 725.x(4，2)，2x(2，)cos 2x 1sin22x1 72522425.(2)解法一 由 sin(90)35，得 cos 35，180270，902135，tan 20，tan21cos 1cos 1351352.解法二 由 sin(90)35，得 cos 35，180270，sin 0，sin 1cos2 1 92545，tan 2sin 1cos 451
4、352.己知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值1已知锐角，且 tan 2，cos 513，求：(1)sin 2；(2)tan(2)解析：(1)tan 2，sin 22sin cos 2sin cos sin2cos2 2tan tan21 2222145.(2)tan 2，tan 2 2tan 1tan2 2212243.cos 513，且 为锐角，sin 1cos21 51321213，tan sin cos 1213513125，tan(2)ta
5、n 2tan 1tan 2tan 431251431255633.探究二 利用倍角、半角公式化简与证明典例 2 化简：1tan 2tan 2(1tan tan 2)解析 1tan 2tan 2(1tan tan 2)(1cos sin 1cos sin)(1sin cos 1cos sin)2cos sin (11cos cos )2cos sin 1cos 2sin.化简三角函数的多种方法：(1)考虑角不同而想到异角化同角法；(2)考虑角之间的相互关系而想到角变换法；(3)分式形式将分子、分母分别进行变形整理，提取公因式的约分法；(4)根式利用倍角公式去根号时要注意三角函数值的符号；(5)形
6、如 1cos 化为 2cos2 2，1cos 化为2sin2 2；(6)遇到 asin xbcos x，引入辅助角化为 Asin(x)的变换方法这些是化简三角函数式的非常重要和常用的方法对于解决三角函数的其他问题，如求值、证明等，都会用到这些常见方法2求证：cos21tan2tan214sin 2.证明：左边cos2cos2sin 2sin2cos2cos2cos22sin22sin2cos2cos2sin2cos2cos22sin22cos2sin2cos2cos sin2cos2cos 12sin cos 14sin 2右边原式成立探究三 三角恒等变换的应用典例 3 已知函数 f(x)2
7、3sin xcos x2cos2x1.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)当 x0，2时，求函数 f(x)的最大值及相应的 x 值解析 f(x)2 3sin xcos x2cos2x1 3sin 2xcos 2x2sin(2x6)(1)令 2k22x62k2(kZ)，得 k3xk6(kZ)，f(x)的单调递增区间为k3，k6(kZ)(2)由 x0，2可得62x676.所以，当 2x62，即 x6时，f(x)取最大值，最大值为 2.首先利用倍角公式及两角和的正弦公式，将 f(x)转化为只含一个角的三角函数的形式，即利用化归的思想转化为形如 yAsin(x)的形式，再研究 f(x)的有关性
8、质，注意使用整体代换的思想将 x 看成一个整体去讨论最值及单调性问题3已知向量 a(cos x，cos x)，b(sin x，cos x)，记函数 f(x)2ab1，其中 xR.(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若(0，2)，且 f(2)23，求 cos 2 的值解析：(1)f(x)2(sin xcos xcos2x)1sin 2xcos 2x 2sin(2x4)，函数 f(x)的最小正周期 T22，(2)f(2)sin cos 23，12sin cos 49，2sin cos 59，(sin cos)212sin cos 149.(0，2)，sin cos 143.又 cos sin
9、 23，cos 2cos2sin2(cos sin)(cos sin)2 149.给三角函数去绝对值符号时易错典例 已知：32 2，化简 1212 1212cos.规范解答 1212 1212cos 1212 1cos 2 1212 cos 22 1212|cos 2|.因为32 2，所以34 2，所以 cos20.所以原式 1cos22 sin24|sin4|.因为32 2，所以38 42，所以 sin40，所以原式sin4.错因与防范 给三角函数去绝对值符号时，要根据三角函数值的符号去绝对值符号，不可忽略随堂训练 1已知 sin 45，是第二象限角，则 sin 2 的值为()A2425 B
10、1225C45D.2425解析：为第二象限角，sin 45，cos 35，sin 22sin cos 245(35)2425.答案：A2已知 x(2，0)，cos 2xa，则 sin x()A.1a2B1a2C.1a2D1a2解析：acos 2x12sin2x，x(2，0)，sin x0，sin x1a2.答案：B3已知 tan(4)3.则 tan 2_.解析：由 tan(4)3 得1tan 1tan 3，tan 2，tan 2 2tan 1tan2 2212243.答案：434已知 sin4x 513，0 x4，求 cos 2xcos4x的值解析：x0，4，4x0，4.又sin4x 513，cos4x 1213.又 cos 2xsin22x2sin4x cos4x 2 5131213120169，cos4x sin24xsin4x 513，原式1201695132413.课时作业
