1、吉林省长春市第十一高中2016-2017学年高二上学期期初考试数学（文）一、选择题：共12题1椭圆的短轴长为A.4B.5C.6D.8【答案】D【解析】本题主要考查双曲线的性质.由椭圆方程可知b=4，所以椭圆的短轴长为2b=8.2双曲线的一条渐近线方程为A.B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查双曲线的渐近线方程.由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为，故选A.3抛物线的焦点坐标为A.(0 ，)B.(，0)C.(0 ，)D.(，0)【答案】C【解析】本题主要考查抛物线的方程与焦点坐标.抛物线的开口向上，由抛物线的方程可知p=，所以焦点(0 ，)4下列命题：如果则；如果，则；是两个不同定
2、点，动点满足是常数，则动点的轨迹是椭圆.其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】本题主要考查命题真假的判断、三角函数、不等式、点的轨迹，考查了分析问题与解决问题的能力.显然正确；令，则，故错误；当点P在线段AB上时，则错误，故答案为B.5椭圆4x2的离心率为A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查椭圆的性质.由椭圆的方程可得a=1，b=，则c=，所以双曲线的离心率为6过(2，2)点与双曲线x2有共同渐近线的双曲线方程为A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的方程与性质.由题意，设所求双曲线的方程为,所以t=，则所求双曲线的方程为7“点到两条坐标轴距离相
3、等”是“点的轨迹方程为”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、点的轨迹，考查了逻辑思维能力. 当点的轨迹方程为，则点P到两条坐标轴的距离相等；当点到两条坐标轴距离相等时，点的轨迹方程为，因此答案为B.8椭圆的焦距为6，则m的值为A.m=1B.m=19C.m=1 或m=19D.m=4或m=16【答案】C【解析】本题主要考查椭圆的方程，考查了分类讨论思想.c=3，当椭圆的焦点在x轴上时，a2=10，则m=a2-c2=1;当椭圆的焦点在y轴上时，a2=m，b2=10，所以m=19，故答案为C.9将双曲线的右焦点，右
4、顶点，虚轴一个端点所组成的三角形叫双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C：x2-y2=4的“黄金三角形”面积是A.B.2C.1D.2【答案】B【解析】本题主要考查双曲线的性质、三角形的面积、自定义问题，考查了分析问题与解决问题的能力.由双曲线方程可知，a=b=2，c=2，设右焦点，右顶点，虚轴一个端点分别为F、A、B，则|AF|=2，B到AF的距离为b=2，所以双曲线C：x2-y2=4的“黄金三角形”面积是S=10双曲线的一条渐近线斜率为2，则该双曲线的离心率为A.B.C.或D.或【答案】B【解析】本题主要考查双曲线的性质、直线的斜率，考查了转化思想与逻辑思维能力.因为双曲线的一条渐近线斜率为2，
5、所以=2,即b=2a，则c=,所以双曲线的离心率e=11已知抛物线的焦点为，准线为，是线段与的一个交点，若.则=A.B.C.4D.5【答案】C【解析】本题主要考查抛物线的定义与性质，考查了转化思想与逻辑思维能力.设l与x轴的交点为M，过Q作l的垂线，垂足为N，由抛物线的定义可得|FQ|=|QN|,|FM|=6,因为,所以=4.12直线与圆及抛物线依次交于四点，则=A.6B.8C.7D.9【答案】C【解析】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式，考查了方程思想与转化思想、计算能力.,圆的半径为，因为直线过圆心，所以|BC|=1,，由可得，则，所以由弦长公式可得|AD|=8，则.二、填空题
6、：共4题13离心率为的椭圆:，,且到椭圆的两个焦点距离之和为，则椭圆的方程为_.【答案】【解析】本题主要考查椭圆的定义、方程与性质.由题意可得2a=8，则a=4，又离心率为，则c=3，所以b2=a2-c2=7，则椭圆的方程为14抛物线，与直线交于两点，则中点到轴距离为_.【答案】12【解析】本题主要考查抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了方程思想与转化思想.设点，中点M(m,n),将代入，化简可得,则，则m=，所以AB中点到y轴的距离为12.15已知椭圆，过作圆的切线，切点为,若=，则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆的位置关系，考查了转化思想与逻辑思
7、维能力.由题意，直角三角形OAP中=9，|OA|=b，=6，所以，求解可得16双曲线C与椭圆C1:有相等焦距，与双曲线C2：有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为_.【答案】【解析】本题主要考查椭圆与双曲线的方程与性质，考查了分析问题与解决问题的能力.由双曲线C与椭圆C1:有相等焦距可得2c=10，又与双曲线C2：有相同渐近线，所以设双曲线C的方程为,当焦点在x轴上时，则18t+32t=25,t=,方程为；当焦点在y轴上时，,t=,方程为，所以双曲线C的标准方程为三、解答题：共5题17抛物线的通径为4，正三角形一个顶点是原点，另外两点也在抛物线上.(1)求抛物线的方程；(2)求正三角形边长.【答
8、案】(1)抛物线的通径为，抛物线的方程为,(2)为正三角形.由抛物线的几何性质知：关于轴对称设直线OA的方程为y=,由x2=4.xA=4yA=12,AOB=64.【解析】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程，考查了转化思想与逻辑思维能力.(1)由题意可得，则可得抛物线的方程；(2)根据抛物线的对称性可知，关于轴对称，设直线OA的方程为y=，联立抛物线的方程，求出点A坐标，则易求正三角形的边长.18椭圆，左右焦点分别为，的离心率，且过()点(1)求椭圆的方程；(2)若点在椭圆上，且,求的面积.【答案】(1)椭圆的离心率e=，a2=4b2，椭圆C的方程可写为,把P()代入C中得，b2=1 ，椭
9、圆C的方程为.(2)在QF1F2中，由余弦定理=,.且2c=2=2.【解析】本题主要考查椭圆的定义、方程与性质、余弦定理、三角形的面积公式，考查了分析问题与解决问题的能力.(1)根据离心率可得a2=4b2，再点P坐标代入椭圆方程，即可求出结果；(2)在QF1F2中，由余弦定理，结合椭圆的定义即可求出，再由三角形的面积公式求解即可.19已知点是椭圆上一点，且在轴上方，是椭圆的左，右焦点，直线的斜率为.(1)求点的坐标；(2)求的面积.【答案】(1)，设点的坐标为，点在椭圆上，且直线的斜率为，消去得，化简得，解得或，当时，故舍去把代入，得点的坐标为.(2).【解析】本题主要考查椭圆、直线与圆锥曲线
10、的位置关系，考查了方程思想与计算能力.(1)设点的坐标为，由题意可得，求解可得结果；(2)由(1)可得，则结果易得.20曲线，直线，与交于两点，(1)求；(2)若,求直线的方程.【答案】(1)设，由联立消y得即k2x2-(8k2+12)x+16k2=0,x1x2=16,(2)由(1)知x1+x2=,x1x2=16,代入弦长公式得4,即4,42k4=(1k2+9)(k2+1),即14k4=(4k2+3)(k2+1),整理有10k4-7k2-3=0,k2=1,k=1或k= -1直线l方程为y=x-4或y= -x-4.【解析】本题主要考查抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式、直线方程，考查了方
11、程思想与计算能力.(1)联立抛物线方程与直线方程，由韦定理可得结果；(2)利用弦长公式即可求出k的值，进而求出直线方程.21如图，为椭圆的左，右焦点，是椭圆的两个顶点，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.直线与椭圆交于两点，两点的“椭点”分别为，已知以为直径的圆经过坐标原点.(1)求椭圆的标准方程；(2)试探讨的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.【答案】(1)由题可得解得，故椭圆的标准方程为.(2)设，则，.由，即.(*)当直线的斜率不存在时，.当直线的斜率存在时，设其直线为，联立得，则，同理，代入(*)，整理得，此时，.综上，的面积为定值1.【解析】本题主要考查自定义问题、椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式与点到直线的距离公式，考查了分类讨论思想与方程思想、逻辑思维能力与计算能力.(1) 由题可得，求解可得椭圆方程；(2) 设，则，由，即，当直线AB的斜率不存在时，易得结果；当直线的斜率存在时，设其直线为，联立椭圆方程，由韦达定理，结合弦长公式与点到直线的公式求解即可.