1、2.3 两角和与差的正切函数考 纲 定 位重 难 突 破1.能利用两角和(或差)的正、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式2.掌握公式 T 及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题.重点：两角和与差的正切公式及其应用难点：两角和与差的正切公式的推导及变形应用.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理两角和与差的正切公式双基自测1若、0，2 且 tan 12，tan 13，则 tan()()A1 B1 C.32 D32解析：tan()tan tan 1tan tan 1213112131.答案：B2若 tan 3，tan 43，则 tan()等于
2、()A3 B13 C3 D.13解析：tan()tan tan 1tan tan 343134353513.答案：D3tan 75_.解析：tan 75tan(3045)tan 30tan 451tan 30tan 4533 11 332 3.答案：2 3探究一 利用两角和与差的正切公式求值典例 1 已知 sin()35，tan 12，并且 是第二象限角，求 tan()的值解析 sin()sin 35，sin 35，又 是第二象限角，cos 1sin245，tan sin cos 34，又 tan 12，tan()tan tan 1tan tan 3412134122.若已知，的正弦、余弦的值
3、，求 的正切的方法有两种：是先求 的正弦、余弦而后应用商数关系；是先求 tan，tan，而后应用 的正切公式若已知，的正切值，则直接应用正切公式求解即可1求下列各式的值(1)tan 75tan 151tan 75tan 15；(2)3tan 151 3tan 15；(3)tan 15tan 30tan 15tan 30.解析：(1)原式tan(7515)tan 60 3.(2)原式 tan 60tan 151tan 60tan 15tan 451.(3)原式tan(1530)(1tan 15tan 30)tan 15tan 301tan 15tan 30tan 15tan 301.探究二 利用
4、和与差的正切公式求角典例 2 已知 tan 13，tan 2，且 02，求(1)tan()的值(2)角 的值解析(1)若 tan 13，tan 2，所以 tan()tan tan 1tan tan 1321237.(2)tan()tan tan 1tan tan 1321231，因为 02，所以232，所以 34.(1)求值计算待求角的正切函数值(2)求范围借助已知角的范围及题目隐含信息，求相关角的范围，注意角的范围越小越好(3)求角借助角的范围及角的三角函数值求角 2已知 tan，tan 是方程 x23 3x40 的两个根，且，(，)，求 的值解析：由韦达定理，得 tan tan 3 3，t
5、an tan 4，tan()tan tan 1tan tan 3 314 3.又，(，)，(2，2)，53，23，3，43.探究三 综合应用问题典例 3 在ABC 中，tan Btan C 3tan Btan C 3，且 3tan A 3tan B1tan Atan B，判断ABC 的形状解析 tan Atan(BC)tan(BC)tan Btan Ctan Btan C1 3 3tan Btan Ctan Btan C1 3，而 0A180，A120.而 tan Ctan(AB)tan Atan Btan Atan B1tan Atan B3tan A 3tan B 33.而 0C180，C
6、30.B30.ABC 是顶角为 120的等腰三角形利用和差角公式判断三角形形状：首先应考虑借助同名三角函数之间的关系判断三角形内角的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，其次注意三角形内角和 ABC180这一隐含条件的运用3是否存在锐角，使得(1)223，(2)tan 2tan 2 3同时成立？若存在，求出锐角，的值；若不存在，说明理由解析：假设存在锐角，使得(1)223，(2)tan 2tan 2 3同时成立由(1)得23，所以 tan2 tan 2tan 1tan 2tan 3.又因为 tan 2tan 2 3，所以 tan 2tan 3 3.因此 tan 2，tan 可以看成是方程
7、x2(3 3)x2 30 的两个根解该方程得 x11，x22 3.若 tan 21，则 2，这与 为锐角矛盾所以 tan 22 3，tan 1，所以 6，4.所以满足条件的，存在，且 6，4.给值求角中的易错误区典例 已知 tan()12，tan 17，且，(0，)，则 2_.解析 由于 tan tan()tantan 1tantan 12171121713，且(0，)，所以 0，4又由 tan 17，且(0，)，得(2，)，所以 2(，0)而 tan(2)tan()1213112131，所以 234.答案 34错因与防范(1)解答本题常会得到 2 的值为4，54 这样错误的结果，原因在于没能
8、依据题设条件进一步缩小角、的范围，导致计算角 2 的范围扩大而出错(2)为了防范类似的错误，应该树立函数择优意识选择运算该角的哪个三角函数值，会直接影响角的解的个数，如本例选择公式 T 较方便快捷，且不易产生增解注意题设隐含条件的挖掘个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan()12，tan 17，且，(0，)”来进一步限定角，的范围随堂训练 1若 tan(4)3，则 tan 等于()A2 B12C.12D2解析：tan(4)3.tan4tan 1tan 4tan 3，1tan 1tan 3 解之得 tan 12.答案：B2若 tan 2，tan 3
9、，且，(0，2)，则 的值为()A30 B45C135 D225解析：tan()tan tan 1tan tan 231231，0，135.答案：C3tan 10tan 50 3tan 10tan 50_.解析：tan 10tan 50 3tan 10 tan 50tan 60(1tan 10tan 50)3tan 10tan 50 3 3tan 10 tan 50 3tan 10tan 50 3.答案：34已知 tan，tan 是方程 6x25x10 的两根，且 02，32，求 tan()及 的值解析：tan，tan 是方程 6x25x10 的两根，tan tan 56，tan tan 16，tan()tan tan 1tan tan 561161.02，32，2，54.课时作业
