1、北师大版数学必修4 返回导航 下页上页9 三角函数的简单应用北师大版数学必修4 返回导航 下页上页考 纲 定 位重 难 突 破1.了解三角函数知识在实际生活中的应用2.会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.重点：建立三角函数模型刻画实际问题并解决实际问题难点：三角函数模型的选择与建立.北师大版数学必修4 返回导航 下页上页01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业北师大版数学必修4 返回导航 下页上页自主梳理建立三角函数模型的步骤北师大版数学必修4 返回导航 下页上页双基自测1某人的血压满足函数关系式 f(t)24sin 160t110，其中 f(t)为
2、血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为()A60 B70 C80 D90解析：T 2160 180，f80.答案：C北师大版数学必修4 返回导航 下页上页2.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数关系式为 s6sin(2t6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A2 s B s C0.5 sD1 s解析：2，T221.答案：D北师大版数学必修4 返回导航 下页上页3电流 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 IAsin(t)(A0，0,02)的图像如图所示，则当 t 1100秒时，电流是()A5 安 B5 安C5 3安 D10 安北师大
3、版数学必修4 返回导航 下页上页解析：由题图知 A10，T 150，2T 100，把(1300，10)代入解析式求得 6.当 t 1100时，I10sin(100 11006)5.答案：A北师大版数学必修4 返回导航 下页上页探究一 三角函数实际应用典例 1 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 64 元的基础上，按月呈 f(x)Asin(x)B 的模型波动(x 为月份)已知 3 月份达到最高价 8 千元，7 月份价格最低为 4 千元；该商品每件的售价为 g(x)(x 为月份)，且满足 g(x)f(x2)2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数 f(x)、售价函数 g(x)的解析式；(2)哪
4、几个月能盈利？北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析(1)f(x)Asin(x)B，由题意可得 A2，B6，4，4，所以 f(x)2sin(4x4)6(1x12，x 为正整数)g(x)2sin(4x34)8(1x12，x 为正整数)北师大版数学必修4 返回导航 下页上页(2)由 g(x)f(x)得 sin4x 22，2k344x2k94，kZ，8k3x8k9，kZ，1x12，kZ，k0 时，3x9，x4,5,6,7,8；k1 时，11x17，x12.x4,5,6,7,8,12.故 4,5,6,7,8,12 月份能盈利北师大版数学必修4 返回导航 下页上页面对实际问题时，能够迅速地建立数学模
5、型是一项重要的基本技能，这个过程并不神秘，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程 北师大版数学必修4 返回导航 下页上页1已知某地一天从 416 时的温度变化曲线近似满足函数 y10sin8x54 20，x4,16(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差(2)若有一种细菌在 15 到 25 之间可以生存，则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析：(1)由函数易知，当 x14 时，函数取得最大值，此时最高温度为 30，当 x6 时，函数取得最小值，此时最低温度为 10，所以最大温差为 30 10 20.(2
6、)令 10sin8x54 2015，得 sin8x54 12，因为 x4,16，所以 x263.令 10sin8x54 2025，得 sin8x54 12.因为 x4,16，所以 x343.故该细菌能存活的最长时间为343 263 83(小时)北师大版数学必修4 返回导航 下页上页探究二 三角函数在物理学中的应用典例 2 交流电的电压 E(单位：V)与时间 t(单位：s)的关系可用 E220 3sin(100t6)来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析(1)当 t0 时，E110 3
7、(V)，即开始时的电压为 110 3 V.(2)T 2100 150(s)，即时间间隔为 0.02 s.(3)电压的最大值为 220 3 V，当 100t62，即 t 1300(s)时第一次取得最大值北师大版数学必修4 返回导航 下页上页由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合函数 yAsin(x)b(A0，0)的变换规律，因此可借助于三角函数模型来研究物理学中的相关现象 北师大版数学必修4 返回导航 下页上页2已知电流与时间 t 的关系式为 IAsin(t)，(1)如图是 IAsin(t)(0，|2)在一个周期内的图像，根据图中数据求 IAsin(t)的解析式；(2
8、)如果 t 在任意一段 1150秒的时间内，电流 IAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么 的最小正整数值是多少？北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析：(1)由题图可知 A300，设 t1 1900，t2 1180，则周期 T2(t2t1)2(1180 1900)175，2T 150，又当 t 1180时，I0，即 sin(150 1180)0，150 1180k(kZ)|2，6.故所求的解析式为 I300sin(150t6)北师大版数学必修4 返回导航 下页上页(2)依题意，周期 T 1150，即2 1150(0)300942，N.故 的最小正整数值为 943.北师大版数学必修4
9、返回导航 下页上页 探究三 三角函数在航海与测量中的应用典例 3 受日月的引力，海水会发生涨落这种现象叫做潮汐在通常情况下，船在涨潮时驶进航道靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋某港口水的深度 y(米)是时间 t(0t24，单位：时)的函数，记作 yf(t)，下面是某日水深的数据：t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，yf(t)的曲线可以近似地看成函数 yAsin tb 的图像北师大版数学必修4 返回导航 下页上页(1)试根据以上数据，求出函数 yf(t)的近似表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为
10、 5 米或 5 米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析(1)由已知数据，易知函数 yf(t)的周期 T12，振幅 A3，b10，所以 y3sin t6 10，t0,24(2)由题意知，该船进出港时，水深应不小于 56.511.5(米)，所以 3sin t6 1011.5，所以 sin t6 12.解得 2k66t2k56(kZ)，12k1t12k5(kZ)在同一天内，取 k0 或 1，所以 1t5
11、 或 13t17.所以该船最早能在凌晨 1 时进港，下午 17 时出港，它至多能在港内停留 16 小时北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解决此类问题，关键是找出问题的本质，转化为数学问题解决北师大版数学必修4 返回导航 下页上页3如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为 8 m，圆环的圆心 O 距离地面的高度为 10 m，蚂蚁每 12 分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点 P0 处(1)试确定在时刻 t(min)时蚂蚁距离地面的高度 h(m)；(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面不低于 14 m?北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析：(1
12、)设在时刻 t(min)时蚂蚁达到点 P，则以 Ox 为始边，OP 为终边的角的大小为212t26t2，故 P 点的纵坐标为 8sin6t2，则 h8sin6t2 10108cos 6t，所以在 t 时刻蚂蚁距离地面的高度 h108cos 6t(t0)北师大版数学必修4 返回导航 下页上页(2)由(1)知 h108cos 6t.令 108cos 6t14，可得 cos 6t12，所以232k6t432k(kZ)，解得 412kt812k(kZ)，又 0t12，所以 4t8.即在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有 4 min 蚂蚁距离地面不低于 14 m.北师大版数学必修4 返回导航 下页上页转化与化归
13、思想典例 下表是芝加哥19511981年月平均气温(华氏).月份123456月均气温21.426.036.048.859.168.6 月份789101112月均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x轴，x月份1，以平均气温为y轴北师大版数学必修4 返回导航 下页上页(1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据；(3)这个函数的周期是多少？(4)估计这个正弦曲线的振幅 A；(5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据yAcosx6；y46Acosx6y46A cosx6；y26Asinx6.北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析(1)(2)如图所示(3)1 月
14、份的气温最低为 21.4,7 月份的气温最高为73.0，根据图知，T2716，所以 T12.(4)2A最高气温最低气温73.021.451.6，所以 A25.8.北师大版数学必修4 返回导航 下页上页(5)因为 x月份1，所以不妨取 x211，y26.0，代入，得yA26.025.81cos 6，所以错误；代入，得y46A26.04625.80cos 6，所以错误；同理错误，所以四个模型中最适合这些数据北师大版数学必修4 返回导航 下页上页感悟提高(1)利用三角函数的周期能够建立三角函数模型解决一些简单问题，其实施的过程就是转化与化归根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知
15、识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型(2)三角函数应用题在阅读理解实际问题时，应注意的几点反复阅读，通过关键语句领悟其数学本质；充分运用转化思想，深入思考，联想所学知识确定变量与已知量；结合题目的已知和要求建立数学模型，确定变量的性质与范围及要解决的问题的结论北师大版数学必修4 返回导航 下页上页随堂训练 1电流强度 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I5sin100t3，则当 t 1200 s 时，电流强度 I 为()A5 A B2.5 AC2 A D5 A北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析：当 t 1200
16、s 时，I5sin(100 12003)5cos 32.5(A)答案：B北师大版数学必修4 返回导航 下页上页2商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，“五一”期间某一天商场的人流量满足函数 F(t)504sin t2(t0)，则人流量增加的时间段是()A0,5B5,10C10,15D15,20解析：由 2k2t22k2，kZ，知函数 F(t)的单调递增区间为4k，4k，kZ.当 k1 时，t3，5因为10,153，5，故选 C.答案：C北师大版数学必修4 返回导航 下页上页3某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 yaAcos6(x6)(x1,2,3，12)来表示，
17、已知 6 月份的月平均气温最高，为 28，12 月份的月平均气温最低，为 18，则 10 月份的平均气温值为()A20 B20.5 C21 D21.5 北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析：由已知得 a2818223，A281825.y235cos6(x6)当 x10 时，y235cos6(106)235cos23 235cos32351220.5()答案：B北师大版数学必修4 返回导航 下页上页4.如图，一弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间 t(s)的变化曲线是一个三角函数的图像，求：(1)经过多长时间，小球往复振动一次；(2)这条曲线的函数解析式；(3)小球开始振动时，离开平衡位置的位移北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析：(1)由图像可知，周期 T2(712 12)，所以小球往复振动一次所需要的时间为 s.(2)由题意可设该曲线的函数解析式为sAsin(t)，t0，)从图像中可以看出 A4，又2，所以 2.从而 s4sin(2t)，北师大版数学必修4 返回导航 下页上页将 t 12，s4 代入上式，得 sin(6)1，所以 3.故这条曲线的函数解析式为 s4sin(2t3)，t0，)(3)当 t0 时，s4sin 32 3(cm)故小球开始振动时，离开平衡位置的位移是 2 3 cm.北师大版数学必修4 返回导航 下页上页课时作业