1、2017年天津市红桥区高考数学一模试卷（理科）一、选择题1集合A=x|x0，B=2，1，1，2，则（RA）B=（）A（0，+）B2，1，1，2C2，1D1，22已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（）A6，10B（6，10C（2，10D2，10）3如图所示的程序框图，输出S的值是（）A30B10C15D214某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的面积是（）AB2C1D5，表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线若=m，l，l，则“lm”是“l且l”的（）A充分且不必要条件B必要且不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知抛物线y2=2px（
2、p0）的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（）AB3CD47已知ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则的值为（）ABCD8已知函数f（x）=，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）A（2，2017）B（2，2018）C（，）D（，2017）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9设i为虚数单位，则复数=10在（2x2）5的二项展开式中，x的系数为11已知ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且s
3、inA=2sinC，b2=ac，则cosB=12已知曲C的极坐标方程=2sin，设直线L的参数方程，（t为参数）设直线L与x轴的交点M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值13已知下列命题：命题：x（0，2），3xx3的否定是：x（0，2），3xx3；若f（x）=2x2x，则xR，f（x）=f（x）；若f（x）=x+，则x0（0，+），f（x0）=1；等差数列an的前n项和为Sn，若a4=3，则S7=21；在ABC中，若AB，则sinAsinB其中真命题是（只填写序号）14定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的xR，都有f（x），则不等式f（log2x）的解集为三、解答题（
4、本大题共6小题，共80分）15（13分）已知函数（）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值16（13分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡（）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望E17（1
5、3分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，PABE，AB=PA=4，BE=2（）求证：CE平面PAD；（）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由18（13分）已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，S2=2a22，S3=a42（）求数列an的通项公式；（）设bn=，Tn为bn的前n项和，求T2n19（14分）已知函数f（x）=x2lnx，aR（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1x2，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明：
6、f（x2）x2120（14分）已知椭圆E：（ab0）的离心率，且点在椭圆E上（）求椭圆E的方程；（）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点求AOB（O为坐标原点）面积的最大值2017年天津市红桥区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1集合A=x|x0，B=2，1，1，2，则（RA）B=（）A（0，+）B2，1，1，2C2，1D1，2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据补集和交集的定义，写出运算结果即可【解答】解：集合A=x|x0，B=2，1，1，2，则RA=x|x0，所以（RA）B=2，1故选：C【点评】本题考查了交集和补集的定义与运算问题，是基础题2
7、已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（）A6，10B（6，10C（2，10D2，10）【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为y=3x+z，由图可知，当直线y=3x+z过A时，z取最大值，由，得A（4，2），此时zmax=342=10；当直线y=3x+z过点B时，由，解得B（0，2），故z302=2综上，z=3x+y的取值范围为（2，10故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题3如图所示的
8、程序框图，输出S的值是（）A30B10C15D21【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图，可得该程序的功能是利用循环计算并输出满足条件的S值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：当S=1时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=3，t=3当S=3时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=6，t=4当S=6时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=10，t=5当S=15时，不满足进入循环的条件，故输出的S值为15故选C【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的办法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理4某几何体的三视图如图所示（单位：cm）
9、，则该几何体的侧面PAB的面积是（）AB2C1D【考点】由三视图求面积、体积【分析】如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面ABC为等边三角形，侧棱PC底面ABC取AB的中点D，连接CD，PD，可得CDAB，PDAB【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面ABC为等边三角形，侧棱PC底面ABC取AB的中点D，连接CD，PD，则CDAB，PDAB，CD=，PD=SPAB=故选：A【点评】本题考查了三棱锥的三视图、三角形面积计算公式、空间位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5，表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线若=m，l，l，则“lm”是“l且l”的（）A充分且不必要条
10、件B必要且不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面平行的性质进行判断即可【解答】解：充分性：=m，m，m，lm，l，l，l，l，必要性：过l作平面交于直线n，l，ln，若n与m重合，则lm，若n与m不重合，则n，l，n，n，=m，nm，故lm，故“lm”是“l且l”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，根据空间直线和平面平行的位置关系是解决本题的关键6已知抛物线y2=2px（p0）的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（）AB
11、3CD4【考点】圆锥曲线的共同特征【分析】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（3，y0），根据|AK|=|AF|及AF=AB=x0（3）=x0+3，进而可求得A点坐标【解答】解：双曲线，其右焦点坐标为（3，0）抛物线C：y2=12x，准线为x=3，K（3，0）设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（3，y0）|AK|=|AF|，又AF=AB=x0（3）=x0+3，由BK2=AK2AB2得BK2=AB2，从而y02=（x0+3）2，即12x0=（x0+3）2，解得x0=3
12、故选B【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握7已知ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则的值为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案【解答】解：如图，D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，=故选：B【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题8已知函数f（x）=，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）A（2，2017）B（2，2018）
13、C（，）D（，2017）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】作出y=f（x）的函数图象，根据函数的对称性可得a+b=，求出c的范围即可得出答案【解答】解：当x0，时，f（x）=cos（x）=sinx，f（x）在0，上关于x=对称，且fmax（x）=1，又当x（，+）时，f（x）=log2017是增函数，作出y=f（x）的函数图象如图所示：令log2017=1得x=2017，f（a）=f（b）=f（c），a+b=，c（，2017），a+b+c=+c（2，2018）故选：B【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9设i为虚数单位，
14、则复数=43i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案【解答】解： =，故答案为：43i【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题10在（2x2）5的二项展开式中，x的系数为【考点】二项式系数的性质【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求出x的系数是什么【解答】解：二项式（2x）5展开式的通项公式是Tr+1=（2x2）5r=（1）r25rx103r，令103r=1，解得r=3；T3+1=（1）322x；x的系数是22=故答案为：【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础性题目11已知ABC的三内角A，B，C
15、所对的边分别为a，b，c，且sinA=2sinC，b2=ac，则cosB=【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由正弦定理与sinA=2sinC，可解得a=2c，将这些代入由余弦定理得出的关于cosB的方程即可求出【解答】解：在ABC中，sinA=2sinC，由正弦定理得a=2c，由余弦定理得b2=a2+c22accosB，将b2=ac及a=2c代入上式解得：cosB=故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理，属于运用定理建立所求量的方程通过解方程来求值的题目，训练目标是灵活运用公式求值，属于基础题12已知曲C的极坐标方程=2sin，设直线L的参数方程，（t为参数）设直线L与x轴的交点M，
16、N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程【分析】首先将曲线C化成普通方程，得出它是以P（0，1）为圆心半径为1的圆，然后将直线L化成普通方程，得出它与x轴的交点M的坐标，最后用两个点之间的距离公式得出PM的距离，从而得出曲C上一动点N到M的最大距离【解答】解：曲线C的极坐标方程=2sin，化成普通方程：x2+y22y=0，即x2+（y1）2=1曲线C表示以点P（0，1）为圆心，半径为1的圆直L的参数方程是：直L的普通方程是：4x+3y8=0可得L与x轴的交点M坐标为（2，0）由此可得曲C上一动点N到M的最大距离等于故答案为：【点评】本题考查了简单的曲线
17、的极坐标方程和参数方程化为普通方程、以及圆上动点到圆外一个定点的距离最值的知识点，属于中档题13已知下列命题：命题：x（0，2），3xx3的否定是：x（0，2），3xx3；若f（x）=2x2x，则xR，f（x）=f（x）；若f（x）=x+，则x0（0，+），f（x0）=1；等差数列an的前n项和为Sn，若a4=3，则S7=21；在ABC中，若AB，则sinAsinB其中真命题是（只填写序号）【考点】命题的真假判断与应用【分析】，根据含有量词的命题的否定形式判定；，若f（x）=2x2x，则xR，f（x）=f（x），；，对于函数f（x）=x+，当且仅当x=1时，f（x）=1；，；，若AB，则ab，
18、2RsinA2RsinBsinAsinB，【解答】解：对于，命题：x（0，2），3xx3的否定是：x（0，2），3xx3，正确；对于，若f（x）=2x2x，则xR，f（x）=f（x），正确；对于，对于函数f（x）=x+，当且仅当x=0时，f（x）=1，故错；对于，等差数列an的前n项和为Sn，若a4=3，故正确；对于，在ABC中，若AB，则ab2RsinA2RsinBsinAsinB，故正确故答案为：【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了函数、数列等基础知识，属于中档题14定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的xR，都有f（x），则不等式f（log2x）的解集为x丨0x4
19、【考点】利用导数研究函数的单调性；指、对数不等式的解法【分析】构造辅助函数，求导，由题意可知F（x）=f（x）x在R单调递减，原不等式转化成F（log2x）F（2），（x0），根据函数的单调性即可求得不等式的解集【解答】解：设F（x）=f（x）x，求导F（x）=f（x）0，则F（x）在R单调递减，由f（log2x），即f（log2x）log2x，由f（2）2=，F（log2x）F（2），（x0），则log2x2，解得：0x4，不等式的解集为：x丨0x4，故答案为：x丨0x4故答案为：x丨0x4【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查转化思想，属于中档题三、解答题（本大题
20、共6小题，共80分）15（13分）（2017红桥区一模）已知函数（）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（）由三角函数化简可得f（x）=2sin（2x+）+3，由周期公式可得，解不等式2k+2x+2k+可得单调递减区间；（）由x结合三角函数的性质逐步计算可得2sin（2x+）+32，5，可得最值【解答】解：（）化简可得=2sinxcosx+2cos2x+2=sin2x+cos2x+1+2=2sin（2x+）+3，函数f（x）的最小正周期T=，由2k+2x+2k+可得k+xk+函数的单调递减区
21、间为k+，k+（kZ）；（）x，2x+，sin（2x+），1，2sin（2x+）1，2，2sin（2x+）+32，5，函数的最大值和最小值分别为5，2【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性及最值，属中档题16（13分）（2017红桥区一模）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡（）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者
22、少于2人的概率；（）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望E【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率【分析】（）由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡记出事件，表示出事件的概率，根据互斥事件的概率公式，得到结论（）的可能取值为0，1，2，3，分别求出其对应的概率，能得到的分布列和数学期望E【解答】解：（）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件A2
23、为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”P（B）=P（A1）+P（A2）=+=所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是（6分）（）的可能取值为0，1，2，3，所以的分布列为0123P所以（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的格式17（13分）（2017红桥区一模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，PABE，AB=PA=4，BE=2（）求证：CE平面PAD；（）求PD与平面PCE所成
24、角的正弦值；（）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角【分析】（）设PA中点为G，连结EG，DG，可证四边形BEGA为平行四边形，又正方形ABCD，可证四边形CDGE为平行四边形，得CEDG，由DG平面PAD，CE平面PAD，即证明CE平面PAD（）如图建立空间坐标系，设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=1，则可得=（1，1，2），设PD与平面PCE所成角为a，由向量的夹角公式即可得解（）设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），由，可得，由=0，可解
25、a，然后求得的值【解答】（本小题共14分）解：（）设PA中点为G，连结EG，DG因为PABE，且PA=4，BE=2，所以BEAG且BE=AG，所以四边形BEGA为平行四边形所以EGAB，且EG=AB因为正方形ABCD，所以CDAB，CD=AB，所以EGCD，且EG=CD所以四边形CDGE为平行四边形所以CEDG因为DG平面PAD，CE平面PAD，所以CE平面PAD（4分）（）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），所以=（4，4，4），=（4，0，2），=（0，4，4）设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），所以，可得
26、令x=1，则，所以=（1，1，2）设PD与平面PCE所成角为a，则sin=|cos，|=|=|=所以PD与平面PCE所成角的正弦值是 （9分）（）依题意，可设F（a，0，0），则， =（4，4，2）设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则令x=2，则，所以=（2，a4）因为平面DEF平面PCE，所以=0，即2+2a8=0，所以a=4，点所以 （14分）【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题18（13分）（2017红桥区一模）已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，S2=2a22，S3=a42（）
27、求数列an的通项公式；（）设bn=，Tn为bn的前n项和，求T2n【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，S2=2a22，S3=a42可得a3=a42a2，a2q=a2（q22），解得q进而得出a1，可得an（II）n为奇数时，bn=n为偶数时，bn=分组求和，利用“裂项求和”方法可得奇数项之和；利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得偶数项之和【解答】解：（I）等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，S2=2a22，S3=a42a3=a42a2，可得a2q=a2（q22），q2q2=0，解得q=2a1+a2=2a22，即a1=a22=2a12，解
28、得a1=2an=2n（II）n为奇数时，bn=n为偶数时，bn=T2n=+=+=+设A=+，则A=+，A=+=，A=T2n=+【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、分类讨论方法、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（14分）（2017红桥区一模）已知函数f（x）=x2lnx，aR（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1x2，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明：f（x2）x21【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出函数的定义域为（0，+），函数的导数
29、，令f（x）=0，当0，当0，a1时，若a0，若a0，分别判断导函数的符号，得到函数的单调性当0a1时，（2）求出函数f（x）有两个极值点x1，x2，等价于方程x22x+a=0在（0，+），直接推出结果（3）通过（1），（2），推出0a1，构造新函数g（t）=t2lnt1，1t2，利用新函数的单调性证明求解即可【解答】（本小题满分14分）（1）解：函数的定义域为（0，+），（1分）令f（x）=0，得x22x+a=0，其判别式=44a，当0，即a1时，x22x+a0，f（x）0，此时，f（x）在（0，+）上单调递增；（2分）当0，即a1时，方程x22x+a=0的两根为，（3分）若a0，则x10，
30、则x（0，x2）时，f（x）0，x（x2，+）时，f（x）0，此时，f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+）上单调递增；（4分）若a0，则x10，则x（0，x1）时，f（x）0，x（x1，x2）时，f（x）0，x（x2，+）时，f（x）0，此时，f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+）上单调递增综上所述，当a0时，函数f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+）上单调递增；当0a1时，函数f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+）上单调递增；当a1时，函数f（x）在（0，+）上单调递增（6分）（2）解：由（1）可
31、知，函数f（x）有两个极值点x1，x2，等价于方程x22x+a=0在（0，+）有两不等实根，故0a1（7分）（3）证明：由（1），（2）得0a1，且1x22，（8分），（9分）令g（t）=t2lnt1，1t2，则，（10分）由于1t2，则g（t）0，故g（t）在（1，2）上单调递减（11分）故g（t）g（1）=12ln11=0（12分）f（x2）x2+1=g（x2）0（13分）f（x2）x21（14分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用20（14分）（2017红桥区一模）已知椭圆E：（ab0）的离心率，且点在椭圆E上（
32、）求椭圆E的方程；（）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点求AOB（O为坐标原点）面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），讨论直线AB的斜率为0和不为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合基本不等式和二次函数的最值的求法，可得面积的最大值【解答】解：（）由已知，e=，a2b2=c2，点在椭圆上，解得a=2，b=1椭圆方程为；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的垂直平分线过点，AB的斜率k存在当直线AB的斜率k=0时，x1=x2，
33、y1=y2，SAOB=2|x|y|=|x|=1，当且仅当x12=4x12，取得等号，时，（SAOB）max=1；当直线AB的斜率k0时，设l：y=kx+m（m0）消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，由0可得4k2+1m2，x1+x2=，x1x2=，可得，AB的中点为，由直线的垂直关系有，化简得1+4k2=6m由得6mm2，解得6m0，又O（0，0）到直线y=kx+m的距离为，=，6m0，m=3时，由m=3，1+4k2=18，解得；即时，（SAOB）max=1； 综上：（SAOB）max=1【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题