1、第一课时 直线与直线、直线与平面的夹角重点难点 重点：直线间的夹角、直线与平面的夹角的定义及计算 难点：用向量法解决线线角、线面角的计算.学习目标：了解线线夹角与线面夹角的形成；理解线线夹角与线面夹角的定义；掌握线线夹角与线面夹角的计算公式及用向量法解决这类问题山体滑坡是一种常见的自然灾害甲、乙两名科学人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，从A、B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m.创设情景问题 1：直线 AC 和 BD 的夹角范围是什么？向量 AC 与向量BD的夹角范围
2、是什么？问题 2：直线 AC 与 BD 的夹角与 AC，BD有什么关系？问题3：若直线BD与平面ACD的夹角为，n 为平面法向量，则 与DB，n有何关系？问题 1：在空间几何中，直线 AC 和 BD 的夹角范围是什么？向量 AC与向量BD的夹角范围是什么？提示：0，2，0，问题 2：直线 AC 与 BD 的夹角与AC，BD有什么关系？提示：当 0AC，BD2时，它们相等；当2 AC，BD 时，直线 AC 与 BD 的夹角为 AC，BDn 为地面法向量，则 与DB，n有何关系？问题3：若直线BD与平面ACD的夹角为，提示：2DB，n或 DB，n2，设直线12,l l的方向向量分别为12,s s
3、1s若两直线所成的角为,则12,l l(0)21212coss ss s2s1s2s1l1l2l2l新知内容1空间两直线的夹角空间两条直线l1与l2 的夹角由它们的方向向量的夹角确定，范围是0，22.直线与平面的夹角(1)直线与平面夹角的概念 平面外一条直线与_的夹角叫作该直线与此平面的夹角如图 它在该平面内的投影直线与平面夹角的范围是_.0，2(2)设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，l 与 的夹角为，则，0a，n2时，；2a，n时，2a，na，n2ann例 1.如图，在空间直角坐标系中有正方体 ABCD-A1B1C1D1，其棱长为 2，M 和 N 分别为 A1B1 和 BB
4、1 的中点，求直线 AM 与直线 CN 夹角的余弦值.解析：由正方体棱长为 2，则 A(2，0，0)，M(2，1，2)，C(0，2，0)，N(2，2，1)则(0，1，2)，(2，0，1)，所以，cos=cos，可求得夹角的余弦值为25.AMCNAMCN例题讲解例2、在正方体AC1中，试求：(1)直线与的夹角；（2）直线A1B与平面A1B1CD的夹角的正弦值1A B1A Dxzy解析：如图所示建系，设正方体棱长为 1，(1)由 A(1,0,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1),B(1,1,0)，又1AD(1,0,1)，(0,1,-1)，AD1 与 A1B 夹角 的余弦值为cos|cos1
5、AD，|12.=31A B1A B02又xz(2)又 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C(0,1,0)，则1DA(1,0,1)，(0,1,0)，设 n=(x,y,z)为平面 A1B1CD 的法向量,则 n1D A 0，n DC 0即00 xzy令 x=1，所以，n=（1,0，-1）直线 A1B 与平面 A1B1CD 的夹角 为sin|cosn，|12.CD1A B线面夹角满足sin|cosa，n|1A B(0,1,-1)1.已知三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABAC，PAAC12AB，N 为 AB 上一点，AB4AN，M，S 分别为 PB，BC的中点(1)求异面直线 CM 与
6、SN 的夹角；(2)求 SN 与平面 CMN 的夹角巩固练习解：设 PA1，以 A 为原点，射线 AB，AC，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系如图则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M1，0，12，N12，0，0，S1，12，0.(1)证明：CM(1,-1,12)，SN(12,12,0)，因为CM SN 121200，所以 CMSN.(2)NC 12，1，0，设 n(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量，则 nCM 0，n NC 0，即xy12z0，12xy0.令 x2，得 n(2,1，2)因为|cosn，SN|1123 22 22，所以 SN 与平面 CMN 的夹角为 45.2如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，则AC1与平面BB1C1C夹角的正弦值为_课堂小结这节课你收获了什么？1、空间直线夹角的范围及计算公式.2、线面夹角的范围及计算公式.1212coss ss ssin|cosa，n|0，20，2