1、北师大版数学必修4 返回导航 下页上页8 函数 yAsin(x)的图像与性质第 1 课时 函数 yAsin(x)的图像北师大版数学必修4 返回导航 下页上页考 纲 定 位重 难 突 破1.通过“五点法”作函数 yAsin(x)b 的图像，研究其性质及图像间的关系2掌握 A，b 对图像形状的影响.重点：1.“五点法”画函数 yAsin(x)的图像2函数 yAsin(x)b 的图像变换难点：函数 yAsin(x)b 的图像变换的理解.北师大版数学必修4 返回导航 下页上页01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业北师大版数学必修4 返回导航 下页上页 自主梳理1“五点法”
2、画函数 yAsin(x)的图像利用“五点法”作函数 yAsin(x)，xR(其中 A0，0)的简图，先分别令x，列表求出长度为一个周期的闭区间上的五个关键点的坐标，再描点，并用平滑的曲线连接作出一个周期上的图像，最后向左、右分别扩展，即可得到函数 yAsin(x)，xR 的简图0，2，32，2北师大版数学必修4 返回导航 下页上页2A、的意义函数 yAsin(x)，xR(其中 A0，0)，在这里常数 A 叫，T2 叫，f1T 2叫，x 叫，叫函数 yAsin(x)b(其中 0，A0)的最大值为，最小值为，周期为.振幅周期频率相位初相AbAb2北师大版数学必修4 返回导航 下页上页3图像变换(1
3、)函数 yAsin x(A0 且 A1)的图像，可以看作是把 ysin x 的图像上各点的纵坐标都(A1)或(0A1)到原来的倍(横坐标不变)而得到即 ysin x 纵坐标A1时伸长到0A1时缩短到原来的 A 倍得 yAsin x.(2)函数 ysin(x)的图像可以看作是把 ysin x 图像上的各点向(0)或向(0)平移个单位而得到的(可简记为左“”右“”)即 ysin x 0时向左0时向右平移|个单位得 ysin(x)伸长缩短A左 右|北师大版数学必修4 返回导航 下页上页(3)函数 ysin x(0 且 1)的图像可以看作是把 ysin x 的图像上各点的横坐标都(1)或(01)到原来
4、的倍(纵坐标不变)而得到的即 ysin x 横坐标1时缩短01时伸长到原来的1倍得 ysin x.缩短伸长1北师大版数学必修4 返回导航 下页上页双基自测1函数 y2sinx25 的周期、振幅依次是()A4，2 B4，2C，2 D，2解析：周期 T2124，振幅为 2，故选 B.答案：B北师大版数学必修4 返回导航 下页上页2最大值为12，周期为3，初相为4的函数表达式可表示为()Ay12sin3x4By12sin3x4Cy12sin6x4Dy12sin6x4解析：A12，2 36，4，C 项正确答案：C北师大版数学必修4 返回导航 下页上页3(1)ysin(x4)的图像是由 ysin x 的
5、图像向_平移_个单位长度得到的；(2)ysin(x4)的图像是由 ysin x 的图像向_平移_个单位长度得到的；(3)函数 ysin x15的图像可以看作把 ysin x 图像向_平移_个单位长度而得到的；(4)函数 ysin x 图像上每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 5 倍，可得函数_的图像答案：(1)左 4(2)右 4(3)下 15(4)ysin 15x北师大版数学必修4 返回导航 下页上页探究一 用“五点法”作函数 yAsin(x)b 的图像典例 1 已知函数 y2sin(12x4)，(xR)(1)利用“五点法”画出该函数在长度为一个周期上的简图；列表：12x4 xy北师大版数
6、学必修4 返回导航 下页上页作图：北师大版数学必修4 返回导航 下页上页(2)说明该函数的图像可由 ysin x(xR)图像经过怎样的变换得到 解析(1)列表：12x402322x22325272y02020北师大版数学必修4 返回导航 下页上页作图：北师大版数学必修4 返回导航 下页上页用“五点法”画函数 yAsin(x)(xZ)的简图时，先作变量代换，令 xx，再用方程思想由 x 取 0，2，32，2 来确定对应的 x 值，最后根据 x、y 的值描点，连线画出函数的图像北师大版数学必修4 返回导航 下页上页1用“五点法”画出 y3sin(x23)在一个周期内的简图解析：y3sin(x23)
7、，列出下表，描出对应的五点.x2302322x235383113143y03030北师大版数学必修4 返回导航 下页上页用光滑曲线连接各点即得所求函数图像，如图所示北师大版数学必修4 返回导航 下页上页探究二 三角函数的图像变换典例 2 函数 y2sin2x3 2 的图像是由函数 ysin x 的图像通过怎样的变换得到的？北师大版数学必修4 返回导航 下页上页北师大版数学必修4 返回导航 下页上页本题考察了由函数 ysin x(xR)的图像变换到函数 yAsin(x)(xR)的两种方法，第一种方法是先进行周期变换，第二种方法是先进行相位变换表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的即6和3，但由
8、于平移时平移的对象已有所变化，所以得到的结果是一致的北师大版数学必修4 返回导航 下页上页2(1)利用“五点法”画出函数 ysin12x6 在长度为一个周期的闭区间的简图；(2)说明该函数图像可由 ysin x(xR)的图像经过怎样平移和伸缩变换得到解析：(1)列表：x323538311312x602322y01010北师大版数学必修4 返回导航 下页上页画图：(2)解法一 先平移后伸缩将 ysin x 的图像向左平移6个单位长度，得到 ysinx6 的图像；将 ysinx6 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 ysin12x6 的图像北师大版数学必修4 返回导航 下页
9、上页解法二 先伸缩后平移将 ysin x 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 ysin 12x的图像；将 ysin 12x 的图像向左平移3个单位长度，得到 ysin12x6 的图像北师大版数学必修4 返回导航 下页上页探究三 由图像确定解析式典例 3 已知函数 f(x)Asin(x)B(A0，0，|2)有最小值1，最大值 3，其部分图像如图所示：(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若对任意的 0m3，方程|f(kx)|m 在区间0，56 上至多有一个解，求正数 k 的取值范围北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析(1)设 f(x)的最小正周期为 T，得T2116
10、 56，得 T2，由 T2 得 1，又BA3，BA1，解得A2，B1，令 56 2，即56 2，解得 3，f(x)2sin(x3)1.(2)函数 y|f(x)|的图像如图所示，则当 y|f(x)|图像伸长为原来的 5 倍以上时符合题意，所以 0k15.北师大版数学必修4 返回导航 下页上页由图像确定函数 yAsin(x)的解析式，主要从以下三个方向来考虑：(1)A 的确定：根据图像的“最高点，最低点”确定 A；(2)的确定：结合图像先求周期 T，然后由 T2(0)确定；(3)的确定：根据函数 yAsin(x)最开始与 x 轴的交点(靠近原点)的横坐标为(即令 x0，x)确定.北师大版数学必修4
11、 返回导航 下页上页3已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|2)的部分图像如图所示北师大版数学必修4 返回导航 下页上页(1)求函数 f(x)的解析式；(2)设 112x1112，且方程 f(x)m 有两个不同的实数根，求实数 m 的取值范围和这两个根的和北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析：(1)由函数图像知 A2.因为图像过点(0,1)，所以 f(0)1，所以 sin 12.因为|2，所以 6.由函数图像知T223 62，所以 T，得 2.所以函数 f(x)的解析式为 f(x)2sin2x6.(2)由(1)知函数 y2sin2x6，x12，1112.北师大版数学必修4 返回导
12、航 下页上页若 112x1112，则当2m0 或 3m2 时，直线 ym 与曲线 y2sin2x6，x12，1112 有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根所以 m 的取值范围为2m0 或 3m2.当2m0 时，两根和为43；当 3m2 时，两根和为3.北师大版数学必修4 返回导航 下页上页图像变换时弄错平移方向或平移长度致误典例 函数 y4sin2x3 的图像是由函数 y4sin 2x 的图像经过怎样的变换得到的？解析 y4sin2x3 的图像是由 y4sin 2x 的图像向左平移6个单位长度得到的北师大版数学必修4 返回导航 下页上页错因与防范(1)本题常出现平移变换时左右方向没有分
13、清的错误本题误认为向左平移3个长度单位(2)因为 y4sin2x3 4sin2x6，所以 y4sin2x3 的图像是由 y4sin 2x 向左平移6个单位长度得到，即比较原函数中的自变量 x 与变换后为 x6，其图像变换满足“左加、右减”北师大版数学必修4 返回导航 下页上页随堂训练 1函数 y2sin(2x3)的相位和初相分别为()A2x3，3 B2x3，3C2x23，23D2x23，3北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析：y2sin(2x3)2sin(2x3)2sin(2x23)，相位和初相分别为 2x23，23，故选 C.答案：C北师大版数学必修4 返回导航 下页上页2为了得到函数
14、 ycos(2x3)的图像，可以将函数 ysin 2x 的图像()A向右平移6个单位长度B向右平移 12个单位长度C向左平移6个单位长度D向左平移 12个单位长度北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析：ycos(2x3)sin(2x32)sin(2x6)sin2(x 12)，所以只需将 ysin 2x的图像向左平移 12个单位答案：D北师大版数学必修4 返回导航 下页上页3函数 f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0)的部分图像如图所示，则f(0)的值是_北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析：由图可知：A 2，T471234，所以 T，2T 2.又函数图像经过点(3，0)所以
15、23，则 3.故函数的解析式为 f(x)2sin(2x3)，所以 f(0)2sin3 62.答案：62北师大版数学必修4 返回导航 下页上页4已知函数 y12sin(2x6)54.(1)当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；(2)该函数的图像可由 ysin x(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解析：(1)因为 y12sin(2x6)54，所以 y 取最大值时，只需 2x622k(kZ)，即 x6k(kZ)故自变量 x 的集合为x|x6k，kZ北师大版数学必修4 返回导航 下页上页(2)将函数 ysin x 依次进行如下变换：把函数 ysin x 的图像向左平移6个单位长度，得到函数 ysin(x6)的图像；把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数 ysin(2x6)的图像；把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，得到函数 y12sin(2x6)的图像；把得到的图像向上平移54个单位长度，即可得到函数 y12sin(2x6)54的图像北师大版数学必修4 返回导航 下页上页课时作业