1、北师大版数学必修4 返回导航 下页上页第 2 课时 函数 yAsin(x)的性质北师大版数学必修4 返回导航 下页上页考 纲 定 位重 难 突 破1.掌握函数 yAsin(x)b 的值域及相关知识2.掌握函数 yAsin(x)b 的单调区间的方法.重点：函数 yAsin(x)的性质及应用难点：由 ysin x 类比 yAsin(x)的性质.北师大版数学必修4 返回导航 下页上页01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业北师大版数学必修4 返回导航 下页上页自主梳理由 ysin x 类比 yAsin(x)的性质 函数性质 ysin xyAsin(x)(A、0)定义域值域
2、周期性TTRR1,1 A，A 22北师大版数学必修4 返回导航 下页上页 函数性质 ysin xyAsin(x)(A、0)奇偶性奇函数当 时为奇函数；时为偶函数(kZ)单调性在2k2，2k2上为增函数，在上为减函数(kZ)令 x 为整体，代入增或减区间内可求对称性对称轴为：，对称中心为(kZ)令 xk2可求对称轴，xk 可求对称中心的横坐标(kZ)k2k2k2，2k32 xk2(k，0)北师大版数学必修4 返回导航 下页上页双基自测1若函数 ysin(x)(0)是 R 上的偶函数，则 等于()A0 B.4C.2D解析：当 2时，ysin(x2)cos x 为偶函数答案：C北师大版数学必修4 返
3、回导航 下页上页2函数 y2sin(2x4)的对称轴是()A.58B.38C.4D8解析：原函数的对称轴满足：2x42k(kZ)，即 x8k2(kZ)，当 k1 时，x58，故选 A.答案：A北师大版数学必修4 返回导航 下页上页3函数 f(x)3sin(2x6)1 的最小值和最小正周期分别是_答案：31，北师大版数学必修4 返回导航 下页上页探究一 函数 yAsin(x)的最值问题典例 1 求函数 y 2sin2x4，x0，2 的值域北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析 0 x2，02x.42x454.22 sin2x4 1.1 2sin2x4 2，即1y 2.所以函数 y 2sin2
4、x4，x0，2 的值域为1，2北师大版数学必修4 返回导航 下页上页求函数 yAsin(x)，xm，n的值域的步骤：(1)换元，ux，并求 u 的取值范围；(2)作出 ysin u(注意 u 的取值范围)的图像；(3)结合图像求出值域北师大版数学必修4 返回导航 下页上页1已知函数 f(x)asin(2x3)1(a0)的定义域为 R，当712x 12时，f(x)的最大值为 2，求 a 的值解析：712x 1276 2x656 2x361sin(2x3)12f(x)max12a1，12a12，即 a2.北师大版数学必修4 返回导航 下页上页探究二 函数 yAsin(x)的性质典例 2 函数 ys
5、in 2x 的图像向左平移(0)个单位长度，得到的图像恰好关于直线 x6对称(1)求 的最小值；(2)当 最小时，求函数 ysin(2x)的单调递增区间北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析(1)ysin 2x 的图像向左平移 个单位长度，得 ysin2(x)，由于其图像关于直线 x6对称，则 262k2(kZ)，k2 12(kZ)，又 0，故 的最小值为 12.北师大版数学必修4 返回导航 下页上页(2)由(1)知 ysin2x 12.由22k2x 1222k(kZ)，得724kx524k(kZ)，ysin(2x 12)的单调递增区间为724k，524k(kZ)北师大版数学必修4 返回导
6、航 下页上页(1)函数 f(x)Asin(x)关于(x0,0)中心对称f(x0)0 x0k(kZ)；(2)函数 f(x)Asin(x)关于直线 xx0轴对称f(x0)A 或 f(x0)Ax0k2(kZ)；(3)求单调区间实际上是解不等式 2k2x2k2或 2k2x2k32(kZ)北师大版数学必修4 返回导航 下页上页2函数 f(x)3sinkx3 1(k0)的最小正周期为 T，且 T(1,3)(1)求实数 k 的范围；(2)当 k 取最小值时，求 f(x)的最大值北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析：(1)因为 T2k(1,3)，所以23 k0，(0，)，xR，同时满足：f(x)是偶函数
7、，且关于34，0 对称，在0，2 上是单调函数，求函数 f(x)北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析 因为 f(x)是偶函数，所以 sin(0)1，因为(0，)，所以 2，3 分所以 f(x)sinx2，因为 f(x)关于点34，0 对称，所以34 2k，kZ，所以 4k3 23，kZ，6 分北师大版数学必修4 返回导航 下页上页因为 f(x)是偶函数且 f(x)在0，2 上是单调函数，知T22.即2，所以 02，9 分因为 4k3 23，kZ，所以 k1 时，23，f(x)sin23x2 cos23x，k2 时，2，f(x)sin2x2 cos 2x.12 分北师大版数学必修4 返回导
8、航 下页上页规范与警示(1)在处，如果思维不严谨，由 sin x0 直接得出 x0 而丢掉 xk(kZ)，就会导致解题错误，造成失分，在处，既考虑函数在0，2上的单调性，又考虑它是偶函数，再想到周期函数的周期，得到T22，这便缩小了 的范围，这是关键的一步对处的取值范围不完整或考虑不全面致使结果不完整而失分北师大版数学必修4 返回导航 下页上页(2)一些常用性质在解题时往往起到关键作用，所以需要记住，如正弦型函数 yAsin(x)中，求对称轴时令 xk2(kZ)；求对称中心时，令 xk(kZ)，如本例中根据对称轴，对称中心可求，.对题目中的条件要认真分析，找出隐含的条件，如本例中函数 yf(x
9、)在0，2 上是单调函数，结合其偶函数的性质，可以得到有关函数周期的范围北师大版数学必修4 返回导航 下页上页随堂训练 1下列函数中是偶函数，并且最小正周期为 的()Aysin(12x2)Bysin(2x2)Cycos(12x2)Dycos(2x2)北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析：函数 ysin(2x2)cos 2x，T22，为偶函数答案：B北师大版数学必修4 返回导航 下页上页2已知函数 f(x)sin2x6.若存在 a(0，)，使得 f(xa)f(xa)恒成立，则 a 的值是()A.6B.3C.4D.2解析：因为 f(xa)f(xa)，所以函数 f(x)sin2x6 的周期为
10、2a.因为 a(0，)，所以 2a22，即 a2，故选 D.答案：D北师大版数学必修4 返回导航 下页上页3若 0，函数 f(x)2sin x 在3，4上单调递增，则 的取值范围是_解析：f(x)2sin x 的单调递增区间为 2k2x2k2，kZ，即2k 2x2k 2，kZ，y2sin x 在3，4上单调递增，3，42k 2，2k 2(kZ)即2k 23，2k 24，当 k0 时解得322.答案：32，2北师大版数学必修4 返回导航 下页上页4设 f(x)4sin(2x3)3.(1)求 f(x)在0，2 上的最大值和最小值(2)把 yf(x)的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐
11、标不变)，再把得到的图像向左平移23 个单位长度，得到函数 yg(x)的图像，求 g(x)的单调减区间北师大版数学必修4 返回导航 下页上页解析：(1)当 x0，2 时，2x33，23.当 x0 时，函数 f(x)有最小值，最小值 f(x)minf(0)4sin3 3 3，当 x512时，函数 f(x)有最大值，最大值 f(x)maxf512 4sin25123 34 3.北师大版数学必修4 返回导航 下页上页(2)把 yf(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y4sinx3 3的图像，再把得到的图像向左平移23 个单位长度，得到 y4sinx3 3的图像，所以 g(x)4sinx3 3.由 2k2x32k32，kZ，得 2k6x2k76，kZ.所以 g(x)的单调减区间是2k6，2k76(kZ)北师大版数学必修4 返回导航 下页上页课时作业
