1、3.13.2综合拔高练五年高考练考点1函数的概念与表示1.(2019江苏,4,5分,)函数y=7+6x-x2的定义域是.考点2分段函数的应用2.(2019课标全国,12,5分,)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x(0,1时, f(x)=x(x-1).若对任意x(-,m,都有f(x)-89,则m的取值范围是()A.-,94 B.-,73C.-,52 D.-,833.(2021浙江,12,4分,)已知aR,函数f(x)=x2-4,x2,|x-3|+a,x2.若f(f(6)=3,则a=.4.(2018天津,14,5分,)已知aR,函数f(x)=x2+2x+a-2,x0,
2、-x2+2x-2a,x0.若对任意x-3,+), f(x)|x|恒成立,则a的取值范围是.5.(2021全国乙文,9,5分,)设函数f(x)=1-x1+x,则下列函数中为奇函数的是()A. f(x-1)-1 B. f(x-1)+1C. f(x+1)-1 D. f(x+1)+1考点3函数基本性质的综合运用6.(2020天津,3,5分,)函数y=4xx2+1的图象大致为()7.(2018课标全国,11,5分,)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50 B.0C.2D.508.(2020全国新
3、高考,8,5分,)若定义在R的奇函数f(x)在(-,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)0的x的取值范围是()A.-1,13,+)B.-3,-10,1C.-1,01,+)D.-1,01,39.(2021全国甲理,12,5分,)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x1,2时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f92=()A.-94B.-32C.74 D.5210.(2021新高考,13,5分,)已知函数f(x)=x3(a2x-2-x)是偶函数,则a=.11.(2019浙江,16,4分,)已知aR,函数f(x)=ax3-x.
4、若存在tR,使得|f(t+2)-f(t)|23,则实数a的最大值是.三年模拟练1.(2021北京房山高一上期中,)已知函数f(x)=x,xa,x2,0xa,若对任意的x1,x2(0,+),且x10,则实数a的取值范围是()A.(0,+)B.(0,1C.(1,+)D.1,+)2.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)设f(x)=x,0x1的解集为()A.(-1,1)B.(-,-1)(1,+)C.(1,3)D.(-,1)(3,+)4.(多选)(2020山东菏泽高一上期末,)下列关于函数f(x)=x2-x4|x-1|-1的性质描述正确的是()A. f(x)的定义域为-1,0)(0,1B. f(x
5、)的值域为(-1,1)C. f(x)在定义域上是增函数D. f(x)的图象关于原点对称5.(多选)(2021山东省实验中学高一上期中,)对于定义在R上的函数f(x),下列说法正确的是()A.若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点(1,0)对称B.若对xR,有f(x+1)=f(x-1),则f(x)的图象关于直线x=1对称C.若函数f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)为偶函数D.若f(1+x)+f(1-x)=2,则f(x)的图象关于点(1,1)对称6.(多选)(2020山东淄博高一上期中,)我们把定义域为0,+)且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“函数”:(1)对任意的
6、x0,+),总有f(x)0;(2)若x0,y0,则有f(x+y)f(x)+f(y)成立.下列判断正确的是()A.若f(x)为“函数”,则f(0)=0B.若f(x)为“函数”,则f(x)在0,+)上为增函数C.函数g(x)=0,xQ,1,xQ在0,+)上是“函数”D.函数g(x)=x2+x在0,+)上是“函数”7.(2021天津第二南开学校高一上期中,)已知f(x)=12x+1,x0,-(x-1)2,x0,则使f(x)-1成立的x的取值范围是.8.(2020天津六校高一上期中联考,)已知函数f(x)=x2-4x+10(xm,n)的值域为3m,3n,则2m+n=.9.(2021北京人大附中高一上期
7、中,)设函数f(x)=x,xa,-x2+2x,x0时,有f(x)0.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)求证:f(x)是R上的奇函数;(3)若f(1)=1,解不等式f(x2)-f(x+2)4.11.(2020山东烟台高一上期中,)经过函数性质的学习,我们知道“函数y=f(x)的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形”的充要条件是“y=f(x)为偶函数”.(1)若f(x)为偶函数,且当x0时,f(x)=2x-1,求f(x)的解析式,并求不等式f(x)f(2x-1)的解集;(2)某数学学习小组针对上述结论进行探究,得到一个真命题:“函数y=f(x)的图象是以直线x=a为对称轴的轴对称图形”的充要条
8、件是“y=f(x+a)为偶函数”.若函数g(x)的图象关于直线x=1对称,且当x1时,g(x)=x2-1x.求g(x)的解析式;求不等式g(x)g(3x-1)的解集.答案全解全析五年高考练1.答案-1,7解析由题意可得7+6x-x20,即x2-6x-70,解得-1x7,故该函数的定义域是-1,7.2.B由题可知,当x(0,1时, f(x)=x(x-1)=x2-x,则当x=12时, f(x)min=-14,且当x=13时, f(x)=-29.当x(1,2时,x-1(0,1,则f(x)=2f(x-1).当x(-1,0时,x+1(0,1,则 f(x)=12f(x+1).若x(1,2,则当x=32时,
9、 f(x)min=-12,且x=43时, f(x)=-49.同理,若x(2,3,则当x=52时, f(x)min=-1,且x=73时, f(x)=-89.函数f(x)的大致图象如图所示.f(x)-89对任意x(-,m恒成立,当x(-,m时, f(x)min-89,由图可知m73.故选B.3.答案2解析因为64=2,所以f(6)=(6)2-4=2,所以f(f(6)=f(2)=|2-3|+a=1+a=3,解得a=2.4.答案18,2解析当x0时, f(x)=-x2+2x-2a,此时只需-x2+2x-2ax恒成立,即2a-x2+x恒成立,因为x0时,y=-x2+x的最大值为14,所以a18;当-3x
10、0时, f(x)=x2+2x+a-2,此时只需x2+2x+a-2-x恒成立,即a-x2-3x+2恒成立,因为-3x0时,y=-x2-3x+2的最小值为2,所以a2.故a的取值范围为18,2.5.B解法一:f(x)=-1+2x+1,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位,再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选B.解法二:选项A, f(x-1)-1=2x-2,此函数为非奇非偶函数;选项B, f(x-1)+1=2x,此函数为奇函数;选项C, f(x+1)-1=-2x-2x+2,此函数为非
11、奇非偶函数;选项D, f(x+1)+1=2x+2,此函数为非奇非偶函数,故选B.6.A设y=f(x)=4xx2+1,易知f(x)的定义域为R,f(-x)=-4xx2+1=-f(x),函数f(x)=4xx2+1是奇函数,y=f(x)的图象关于原点对称,排除C、D,易知f(1)=2,排除B,故选A.7.C因为f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0.又因为f(1-x)=f(1+x),所以f(-x)=f(2+x).由可得f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=f(x).由f(1)=2,得f(-1)=-2,于是有f(2)=f(0)=0, f(3)=f(-1)
12、=-2,f(4)=f(0)=0, f(5)=f(1)=2, f(6)=f(2)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=12f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(49)+f(50)=120+f(1)+f(2)=2+0=2.8.Df(x)是定义在R上的奇函数,f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又f(x)在(-,0)上单调递减,f(x-1)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图象如图:若xf(x-1)0,则x0,f(x-1)0或x0,f(x-1)0,解得1x3或-1x0.综上,满足xf(x-1)0的x的取值范围
13、是-1,01,3.故选D.9.D由题知f(-x+1)=-f(x+1),f(-x+2)=f(x+2),即f(-x)=-f(x+2),f(-x)=f(x+4),从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+-f(1)=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.又由题知f(x+1)为奇函数,xR,所以f(1)=0,即a+b=0.由得a=-2,b=2,从而f(x)=-2x2+2,x1,2.所以f92=f52+2=-f52=f12=-f32=-(-2)322+2=52.故选D.10.答案1解析f(x)=x3(a2x-2-x)为偶
14、函数,f(1)=f(-1),2a-12=-12a-2,a=1.当a=1时, f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.11.答案43解析|f(t+2)-f(t)|=|a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)|=|a(6t2+12t+ 8)-2|.令m=6t2+12t+8=6(t+1)2+2,则m2,+),设g(m)=f(t+2)- f(t)=am-2,则|g(m)|23有解.当a=0时,g(m)=-2,不符合题意;当a0时,g(m)2a-2,+),|g(m)|23有解,2a-223,得0a43;当a0时,g(m)(-,2a-2,|g(m)|2
15、3有解,2a-2-23,得a23,与a0矛盾.综上可知,0a43,即a的最大值为43.三年模拟练1.B根据题意,对任意的x1,x2(0,+),且x10,则f(x)在区间(0,+)上为增函数,又函数f(x)=x,xa,x2,0x0,a2a,解得01得f(x-1)1或f(x-1)f(0)或f(x-1)f(2),所以x-12,解得x3,故选D.4.ABD由x2-x40,|x-1|-10,得-1x1且x0,此时f(x)=x2-x4-(x-1)-1=x2-x4-x=|x|1-x2-x,因此A正确;当0x1时, f(x)=-1-x2(-1,0,当-1x0,-(x-1)2-1, -4x0或0x2,即-4x2
16、.使f(x)-1成立的x的取值范围是-4,2.8.答案9解析f(x)=x2-4x+10=(x-2)2+66,3m6,m2,又函数f(x)图象的对称轴为直线x=2,函数f(x)在m,n上单调递增.f(m)=3m,f(n)=3n,即m2-4m+10=3m,n2-4n+10=3n,解得m=2或m=5,n=2或n=5,又m1(2)a0或a=1解析(1)若f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.在同一直角坐标系中画出函数y=x和y=-x2+2x的图象,如图所示.若存在xR,使得f(1+x)=f(1-x),则a1.(2)结合图象知,若f(x)为R上的单调函数,则a0或a=1.1
17、0.解析(1)证明:任取x1,x2R,且x10时,f(x)0,且x2-x10,f(x2-x1)0,f(x2)f(x1),即f(x)在R上为增函数.(2)证明:对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),令a=b=0,则f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),f(0)=0,令a=x,b=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,f(-x)=-f(x),即函数f(x)为R上的奇函数.(3)若f(1)=1,则f(2)=2f(1)=2, f(4)=2f(2)=4,不等式f(x2)-f(x+2)4等价于f(x2)-f(x+2)f(4),由(2)知f(x)为奇函数,-f(x+
18、2)=f(-x-2),f(x2)-f(x+2)=f(x2)+f(-x-2),f(x2-x-2)f(4),又由(1)知, f(x)在R上为增函数,x2-x-24,即x2-x-60,x3或x0,则-x0.因为f(x)为偶函数,且f(x)在0,+)上是减函数,所以f(x)f(2x-1)等价于|x|2x-1|,即x2(2x-1)2,解得x1.所以不等式的解集是xx1.(2)因为g(x)的图象关于直线x=1对称,所以函数g(x+1)为偶函数,所以g(1+x)=g(1-x),即g(x)=g(2-x)对任意xR恒成立.又当x1,所以g(x)=(2-x)2-12-x=x2-4x+4+1x-2.所以g(x)=x2-1x,x1,x2-4x+4+1x-2,x1.任取x1,x21,+),且x1x2,则g(x1)-g(x2)=x12-1x1-x22-1x2=(x1-x2)x1+x2+1x1x2,因为x1x2,所以x1-x20,1x1x20,所以(x1-x2)x1+x2+1x1x20,即g(x1)g(3x-1)等价于|x-1|3x-2|,即(x-1)2(3x-2)2,解得12x34.所以不等式的解集为x12x34.