1、4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式最新考纲考情考向分析1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，sin xcos xtan x.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2，的正弦、余弦、正切的诱导公式.考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力题型为选择题和填空题，低档难度.1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：sin cos tan(2k，kZ)2三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)22正弦sin sin s
2、in sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限知识拓展1同角三角函数关系式的常用变形(sin cos)212sin cos；sin tan cos.2诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，为锐角，则 sin2cos21.()(2)若 R，则 tan sin cos 恒成立()(3)sin()sin 成立的条件是 为锐角()(4)若 si
3、n(k)13(kZ)，则 sin 13.()题组二 教材改编2P19 例 6若 sin 55，2，则 tan.答案 12解析 2，cos 1sin22 55，tan sin cos 12.3P22B 组 T3已知 tan 2，则sin cos sin cos 的值为答案 3解析 原式tan 1tan 121213.4P28T7化简cos2sin52sin()cos(2)的结果为答案 sin2解析 原式sin cos(sin)cos sin2.题组三 易错自纠5设 tan 33，32，则 sin cos 的值为()A12 32B12 32C.12 32D.12 32答案 A解析 tan 33，2
4、 000，则 f(f(2 018).答案 1解析 f(f(2 018)f(2 01818)f(2 000)，f(2 000)2cos2 00032cos 23 1.题型一 同角三角函数关系式的应用1(2017长沙模拟)已知 是第四象限角，sin 1213，则 tan 等于()A 513B.513C125D.125答案 C解析 因为 是第四象限角，sin 1213，所以 cos 1sin2 513，故 tan sin cos 125.2(2017安徽江南十校联考)已知 tan 34，则 sin(sin cos)等于()A.2125B.2521C.45D.54答案 A解析 sin(sin cos)
5、sin2sin cos sin2sin cos sin2cos2tan2tan tan21，将 tan 34代入，得原式223344314 2125.3已知 sin cos 2，(0，)，则 tan 等于()A1B 22C.22D1答案 A解析 由sin cos 2，sin2cos21，消去 sin 得 2cos22 2cos 10，即(2cos 1)20，cos 22.又(0，)，34，tan tan34 1.思维升华(1)利用 sin2cos21 可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角 所在象限确定符号；利用sin cos tan 可以实现角 的弦切互化(2)应用公式时注意方程思想的应用：
6、对于 sin cos，sin cos，sin cos 这三个式子，利用(sin cos)212sin cos，可以知一求二(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.题型二 诱导公式的应用典例(1)已知角 的终边上一点的坐标为sin 56，cos 56，则角 的最小正值为()A.56B.53C.116D.23答案 B解析 sin 56 12，cos 56 32，该点坐标为12，32，53 2k(kZ)当 k0 时，有最小正值53.(2)已知 cos6 a，则 cos56 sin23 的值是答案 0解析 cos56 cos56 a，sin23 sin
7、26a，cos56 sin23 aa0.思维升华(1)诱导公式的两个应用求值：负化正，大化小，化到锐角为终了化简：统一角，统一名，同角名少为终了(2)含 2 整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，要利用诱导公式一，然后再进行运算跟踪训练(1)(2017南昌模拟)化简：sincossin52 tancos32.答案 1解析 原式sin cos cos tan cos31.(2)已知角 终边上一点 P(4,3)，则cos2 sincos112 sin92 的值为答案 34解析 原式sin sin sin cos tan，根据三角函数的定义得 tan 34.题型三 同角三角函数基本关系式和
8、诱导公式的综合应用典例(1)(2017福建四地六校联考)已知 为锐角，且 2tan()3cos2 50，tan()6sin()10，则 sin 的值是()A.3 55B.3 77C.3 1010D.13答案 C解析 由已知可得2tan 3sin 50，tan 6sin 10，解得 tan 3，又 为锐角，故 sin 3 1010.(2)已知x0，sin(x)cos x15.求 sin xcos x 的值；求sin 2x2sin2x1tan x的值解 由已知，得 sin xcos x15，两边平方得 sin2x2sin xcos xcos2x 125，整理得 2sin xcos x2425.(s
9、in xcos x)212sin xcos x4925，由x0 知，sin x0，又 sin xcos x12250，sin xcos x0，故 sin xcos x75.sin 2x2sin2x1tan x2sin xcos xsin x1sin xcos x2sin xcos xcos xsin xcos xsin x24251575 24175.引申探究本例(2)中若将条件“x0”改为“0 x”，求 sin xcos x 的值解 若 0 x0，cos x0，故 sin xcos x75.思维升华(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式
10、进行变形(2)注意角的范围对三角函数符号的影响跟踪训练(1)(2017三明模拟)若sincos2sin cos12，则 tan 等于()A1B1C3D3答案 D解析 由已知sin cos sin cos 12，tan 1tan 112，故 tan 3.(2)(2017西安模拟)已知函数 f(x)asin(x)bcos(x)，且 f(4)3，则 f(2 017)的值为()A1B1C3D3答案 D解析 f(4)asin(4)bcos(4)asin bcos 3，f(2 017)asin(2 017)bcos(2 017)asin()bcos()asin bcos 3.分类讨论思想在三角函数中的应用
11、典例(1)已知 Asinksin coskcos(kZ)，则 A 的值构成的集合是()A1，1,2，2B1,1C2，2D1，1,0,2，2(2)已知 sin 2 55，则 tan()sin52 cos52.思想方法指导(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论(2)利用诱导公式化简时要对题中整数 k 是奇数或偶数进行讨论解析(1)当 k 为偶数时，Asin sin cos cos 2；当 k 为奇数时，Asin sin cos cos 2.所以 A 的值构成的集合是2，2(2)sin 2 55 0，为第一或第二象限角tan()sin52 cos52 ta
12、n cos sin sin cos cos sin 1sin cos.当 是第一象限角时，cos 1sin2 55，原式1sin cos 52；当 是第二象限角时，cos 1sin2 55，原式1sin cos 52.综合知，原式52或52.答案(1)C(2)52或521已知 sin()12，则 cos 的值为()A12B.12C.32D 32答案 D解析 sin()sin 12，sin 12，cos 1sin2 32.2已知 sin 55，则 sin4cos4 的值为()A15B35C.15D.35答案 B解析 sin4cos4sin2cos22sin2125135.3已知 tan 12，且
13、，32，则 sin 等于()A 55B.55C.2 55D2 55答案 A解析 tan 120，且，32，sin 0，所以原式sin cos.故选 A.5(2017广州二测)cos12 13，则 sin512 等于()A.13B.2 23C13D2 23答案 A解析 sin512 sin212cos12 13.6(2017孝感模拟)已知 tan 3，则12sin cos sin2cos2 的值是()A.12B2C12D2答案 B解析 原式sin2cos22sin cos sin2cos2tan22tan 1tan2196191 2.7若 sin()2sin2，则 sin cos 的值等于()A
14、25B15C.25或25D.25答案 A解析 由 sin()2sin2，可得 sin 2cos，则 tan 2，sin cos sin cos sin2cos2 tan 1tan225.8若角 的终边落在第三象限，则cos 1sin22sin 1cos2的值为()A3B3C1D1答案 B解析 由角 的终边落在第三象限，得 sin 0，cos 0，故原式 cos|cos|2sin|sin|cos cos 2sin sin 123.9在ABC 中，若 tan A 23，则 sin A.答案 2211解析 因为 tan A 23 0，所以 A 为锐角，由 tan Asin Acos A 23 以及
15、sin2Acos2A1，可求得 sin A 2211.10已知 为钝角，sin4 34，则 sin4.答案 74解析 因为 为钝角，所以 cos4 74，所以 sin4 cos24cos4 74.11若 f(cos x)cos 2x，则 f(sin 15).答案 32解析 f(sin 15)f(cos 75)cos 150cos(18030)cos 30 32.12若 cos(2)53，且 2，0，则 sin().答案 23解析 由诱导公式可知 cos(2)cos 53，sin()sin，由 sin2cos21，可得 sin 23，2，0，sin 23.13若 sin，cos 是方程 4x22
16、mxm0 的两根，则 m 的值为()A1 5B1 5C1 5D1 5答案 B解析 由题意知 sin cos m2，sin cos m4，又(sin cos)212sin cos，m24 1m2，解得 m1 5，又 4m216m0，m0 或 m4，m1 5.14已知 为第二象限角，则 cos 1tan2sin 1 1tan2.答案 0解析 原式cos sin2cos2cos2sin sin2cos2sin2cos 1|cos|sin 1|sin|，因为 是第二象限角，所以 sin 0，cos 0，所以 cos 1|cos|sin 1|sin|110，即原式等于 0.15若 sin6 13，则 c
17、os23 2 等于()A79B13C.13D.79答案 A解析 3 6 2，sin6 sin23cos3 13.则 cos23 2 2cos23 179.16(2018武汉模拟)已知关于 x 的方程 2x2(31)xm0 的两根为 sin 和 cos，(0,2)求：(1)sin2sin cos cos 1tan 的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时 的值解(1)原式sin2sin cos cos 1sin cos sin2sin cos cos2cos sin sin2cos2sin cos sin cos.由条件知 sin cos 312，故sin2sin cos cos 1tan 312.(2)由 sin22sin cos cos212sin cos 即(sin cos)212m2，解得 m 32.(3)由sin cos 312，sin cos 34，知sin 32，cos 12或sin 12，cos 32.又(0,2)，故 3或 6.