1、课时作业36基本不等式及其应用一、选择题1(2014广东省广州综合测试一)已知x1，则函数yx的最小值为()A1B0C1 D2解析：由于x1，则x10，所以yx(x1)1211，当且仅当x1，由于x1，即当x0时，上式取等号，故选C.答案：C2(2014上海黄浦二模)已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是()Aab2 B.2C|2 Da2b22ab解析：当a，b都是负数时，A不成立，当a，b一正一负时，B不成立，当ab时，D不成立，因此只有C是正确的答案：C3(2013四川绵阳一诊)若正数a，b满足1，则的最小值为()A1 B6C9 D16解析：方法一：因为1，所以abab(a1)(b1
2、)1，所以2236.方法二：因为1，所以abab，所以b9a10(b9a)1016106.方法三：因为1，所以a1，所以(b1)2236.答案：B4(2014山东青岛一模)在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，bR，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意aR，a*0a；(2)对任意a，bR，a*bab(a*0)(b*0)则函数f(x)(ex)*的最小值为()A2 B3C6 D8解析：依题意可得f(x)(ex)*exexex1213，当且仅当x0时“”成立，所以函数f(x)(ex)*的最小值为3，选B.答案：B5(2014湖北黄冈三月月考)设a1，b0，若ab2，则的最小值为()A
3、32 B6C4 D2解析：由ab2可得，(a1)b1.因为a1，b0，所以(a1b)323.当且仅当，即a，b2时取等号答案：A6(2014河北唐山二模)若实数a，b，c满足a2b2c28，则abc的最大值为()A9 B2C3 D2解析：(abc)2a2b2c22ab2ac2bc82ab2ac2bc.a2b22ab，a2c22ac，b2c22bc，82ab2ac2bc2(a2b2c2)824，当且仅当abc时取等号，abc2.答案：D二、填空题7(2014山东潍坊一模)已知ab0，ab1，则的最小值为_解析：ab0，ab0.(ab)22.当且仅当(ab)，即ab时等号成立答案：28(2014北
4、京丰台一模)已知函数f(x)2x，点P(a，b)在函数y(x0)图象上，那么f(a)f(b)的最小值是_解析：点P(a，b)在函数y(x0)的图象上，所以有ab1，因为a0，b0，所以f(a)f(b)2a2b2ab224，当且仅当ab时取到等号答案：49(2014广东东莞一模)已知集合Ax|x22x30，Bx|ax2bxc0，若ABx|3x4，ABR，则的最小值为_解析：x22x30，x1或x3，ABx|3x4，ABR，Bx|1x4，1和4是ax2bxc0的根，14，(1)4，b3a，c4a，且a0，2，当且仅当时取等号答案：三、解答题10(2014长沙模拟)已知f(x).(1)若f(x)k的
5、解集为x|x3或x2，求k的值；(2)若对任意x0，f(x)t恒成立，求实数t的范围解析：(1)f(x)kkx22x6k0，由已知其解集为x|x3或x2，得x13，x22是方程kx22x6k0的两根，所以23，即k.(2)x0，f(x)，由已知f(x)t对任意x0恒成立，故实数t的取值范围是.11(2014北京石景山一模改编)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其他费用为每小时96元当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元若匀速行驶10海里，求当这艘轮船的速度为多少时，费用总和最小？解析：设每小时的燃料费ykv2，因为速度为10海里/小时时，每小时的燃料
6、费是6元，所以k.费用总和为1010248，当且仅当v，v40时取等号故当这艘轮船的速度为40海里/时时，费用总和最小12(2014江苏南通二调)为了净化空气，某科研小单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷酒a(1a4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值 (精确到0.1，参考数据：取1.4)解析：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)4y则当0x4时，由44，解得x0，所以此时0x4.当4x10时，由202x4解得x8，所以此时4x8.综合得0x8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天(2)设从第一次喷洒起，经x(6x10)天，浓度g(x)2a10xa(14x)a4.因为14x4,8，而1a4，所以44,8，故当且仅当14x4时，y有最小值为8a4.令8a44，解得2416a4，所以a的最小值为24161.6.