1、江苏省南通市海安市2020届高三数学下学期3月月考试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上.）1.已知集合，则_.【答案】【解析】由交集的定义，应填答案2.已知复数满足,则复数的模为_.【答案】【解析】【分析】由已知得,将其整理成,即可求出模.【详解】解:由题意知, 所以.故答案为: .【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的模.本题的易错点在于化简时,错把 当成了1来计算.3.某人5次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9.则这组数据的平均数为_.【答案】10【解析】【分析】代入求解平均
2、数的公式计算即可.【详解】解:平均数.故答案为:10.【点睛】本题考查了平均数的计算.易错点为计算出错.4.如图，是一个算法的流程图，则输出的的值为_.【答案】4【解析】【分析】根据流程框图进行循环计算,跳出循环时 的值即为所求.【详解】解:第一次循环:;第二次循环:.此时 不成立故答案为:4.【点睛】本题考查了程序框图.对于循环结构是常考的题型,一般做法为根据框图,计算每次循环的结果,注意,临界即跳出循环时的计算结果.通常循环框图常和数列求和综合到一块.5.在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为_.【答案】【解析】【分析】求出双曲线的右焦点,令即可求出的值.【详解
3、】解:双曲线,即右焦点为.即抛物线的焦点为所以,解得.故答案为: .【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,考查了抛物线的方程.易错点是误把 当做了抛物线焦点的横坐标.6.已知一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为_【答案】0.4【解析】【分析】从中一次随机摸2只球，写出基本事件总数n和这2只球颜色相同包含的基本事件数m，由古典概型概率公式计算即可【详解】一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n10，这2只球颜色相同包含的基本事件个数m4，这2只球颜色相同的概率为p=0
4、.4故答案为0.4【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力，是基础题7.现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4.若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】求出圆锥的体积,则由题意,设球的半径为,可得,求出球的半径,进而可求球的表面积.【详解】解:由题意知,圆锥的体积为.设球的半径为 则,解得.所以表面积为.故答案为:.【点睛】本题考查了圆锥的体积,考查了球的体积,考查了球的表面积.结合方程的思想,根据题意求出球的半径.对于球的问题,一般都要首先明确半径的大小.8.已知等比数列的前项的和为,则的值为_.【答案】4【解析】【分析】由可得,进而可
5、求出公比的值,即可求的值.【详解】解: 解得,.所以.故答案为:4.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前 项和.等比数列问题,一般可采用基本量法进行求解,但是这种方法计算量比较大.因此,对于等比数列的问题,一般首先考虑利用性质简化计算.9.已知，是夹角为两个单位向量，且则的值为_.【答案】【解析】【分析】由题意知,进而可求的值.【详解】解: .解得.故答案为:.【点睛】本题考查了平面向量的数量积.对于向量的数量积问题,若题目中无向量的坐标,则在求数量积时,一般套用定义求解;若题目中已知了向量的坐标,求数量积时一般代入数量积的坐标公式.10.在平面直角坐标系中，已知圆,直线过
6、定点，与圆交于点,过点作的平行线交于点,则的周长为_.【答案】5【解析】【分析】由题意得,圆心为,半径为,由平行可知,化简后可得,进而可求三角形的周长.【详解】解:当 时, 与 无关,则.圆所以,圆的圆心为,半径为.则由题意知, 与平行 即 则的周长.故答案为:5.【点睛】本题考查了直线过定点的问题,考查了圆的标准方程.本题的关键在于,由平行得比例关系.若联立直线与圆的方程,求解各点的坐标,这种思路也可以求出最后答案,但计算量太大.11.如图，已知两座建筑物的高度分别为15m和9m，且，从建筑物的顶部看建筑物的张角为，测得，则间的距离_m.【答案】12【解析】分析】由,可得,进而可求间的距离.
7、【详解】解:由题意知 ,整理得 ,解得或 .， 故答案为:12.【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用.难点在于已知正切值的使用.有的同学可能由正切值求出正弦和余弦,结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解.由于本题所给的正切值求出的正弦余弦值数比较大,因此这种思路计算量较大,效率不高而且容易做错.12.设曲线在处的切线为，则点到的最大距离为_.【答案】【解析】【分析】求出切线方程为,从而则 到 的距离可用 表示出来,结合基本不等式即可求解.【详解】解: 则切线方程为 整理得.则 到 的距离 ,当且仅当即 时等号成立 即.故答案为:.【点睛】本题考查了切线的求解,考查了点到直线的距离,考查了基本不
8、等式.求最值常见的思路有导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.本题的难点是对距离进行变形整理.13.已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是_.【答案】或【解析】【分析】由诱导公式可知,令,结合函数图像,讨论最大值为和1两种情况,进而求出 的取值范围.【详解】解: 令.则由可得 则.要使其既有最小值又有最大值若最大值为 则,解得 若最大值为,则,解得.综上所述: 或.故答案为: 或.【点睛】本题考查了诱导公式,考查了三角函数最值问题.本题的易错点是漏解,只考虑了最大值为1的情况.本题的难点是分界点能否取得的判断.14.已知函数，.若函数恰有3个不同的零点，则的取值集合为_.
9、【答案】【解析】【分析】由题意写出 的解析式,根据图像的平移变换,分别画出它们的图像,判断哪个函数图像与 图像有三个交点,即为所求.【详解】解:由题意知,.则其函数图像为由图像可知,当或时, 函数恰有3个不同的零点.故答案为: .【点睛】本题考查了函数的图像变换,考查了函数的零点.若函数,则函数 的零点个数就等同于函数 图像的交点个数.本题的难点是画含绝对值的函数图像.对于,首先画出 的图像,然后将轴下方的图像向上翻折即可;对于 的图像,首先画出 的图像,然后将轴右侧向左翻折.二、解答题（本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.在平
10、面直角坐标系中，设向量.（1）若，求的值；（2）求的最大值及取得最大值时的值.【答案】(1)或;(2)最大值,.【解析】【分析】(1)求出,由可得,结合可求出所求.(2) ,结合和正弦函数的图像,即可分析出最值及取得最大值时的值.【详解】解:(1)因为所以因为,所以.因为,所以于是或.(2)因为,所以,于是.所以当,即时,取最大值.【点睛】本题考查了向量的模,考查了向量的数量积,考查了三角恒等变换,考查了三角函数的最值.对于 型的函数,在求最值、对称轴、对称中心、单调区间时,一般都是采取整体的思想进行计算.16.如图，在正方体中，是棱的中点.求证：（1）平面；（2）平面平面.【答案】(1)证明
11、见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)取的中点,连,通过证明从而证明线面平行.(2)通过,推出,从而证明平面,进而可证面面垂直.【详解】证明:(1)在正方体中,设与相交于点,则为的中点取的中点,连.所以,.在正方体中,.又点是的中点所以.于是四边形是平行四边形,从而.又因为平面,平面,所以平面.(2)在正方体中,平面,而平面,所以.又在正方体中,四边形为正方形所以.由(1)知,于是,.又平面,平面,所以平面.又因为平面,所以平面平面.【点睛】本题考查了线面平行的判定,考查了面面垂直的判定.线面平行或者面面平行的判定,一般都归结为证明线线平行;线面垂直或者面面垂直的判定,一般都归结为证
12、明线线垂直.此类问题如果采用逻辑推理的方法无法证明,有时也可以建立空间直角坐标系,运用空间向量证明平行和垂直.17.如图，在平面直角坐标系中，已知两点分别为椭圆的右顶点和上顶点，且，右准线的方程为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于另一点，交于点.若以为直径的圆经过原点，求直线的方程.【答案】(1);(2)或.【解析】【分析】(1)由右准线的方程为以及可列出方程组解得即可求出椭圆的方程.(2) 设的方程为,与椭圆方程联立,求出;联立可得,由可知,从而可求出,进而可求直线的方程.【详解】解:(1)设椭圆的焦距为.由题意得,解得.所以椭圆的标准方程为:.(2)由题意得直线不垂直于轴,
13、设的方程为联立,消得.又直线过点,则方程必有一根为2,则.代入直线,得点.联立,所以.又以为直径的圆过原点,所以.则,解得,所以.所以直线的方程为或.【点睛】本题考查了椭圆的准线方程,考查了椭圆的性质,考查了直线与椭圆相交问题,考查了向量的数量积.本题第二问的难点在于圆过原点这一条件得运用.一般若题目中已知圆过某点,则一般等量关系为:圆心到该点的距离为半径或者圆上两点与已知点的连线垂直.18.下图是一块平行四边形园地，经测量，.拟过线段上一点 设计一条直路（点在四边形的边上，不计直路的宽度），将该园地分为面积之比为的左，右两部分分别种植不同花卉.设（单位：m）.（1）当点与点重合时，试确定点的
14、位置；（2）求关于的函数关系式；（3）试确定点的位置，使直路的长度最短.【答案】(1)是的中点;(2);(3) 当,时,最短,其长度为.【解析】【分析】(1)由可知,从而证明是的中点.(2)求出平行四边形的面积为,进而可求,从而用 可将表示出来,利用余弦定理即可得到关于的函数关系式.(3)当 ,由二次函数的性质可求最值;当时,由基本不等式可求最值.【详解】解:(1)当点与点重合时,由题设知,.于是,其中为平行四边形边上的高.得,即点是的中点.(2)因为点在线段上,所以.当时,由(1)知点在线段上.因为所以.由得,.所以中,由余弦定理得.当时,点在线段上,由得.当时,当时, 化简均为.综上,.(
15、3)当时,于是当时,此时.当时,当且仅当，即时，取等号综上： 当距点，距点时，最短，其长度为.【点睛】本题考查了函数模型应用,考查了余弦定理,考查了基本不等式.本题的易错点是没有讨论自变量的取值,从而造成了漏解.求最值时,常用的方法有:导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.19.已知函数的定义域为，若满足，则称函数为“型函数”.（1）判断函数和是否为“型函数”，并说明理由；（2）设函数，记为函数的导函数.若函数的最小值为1，求的值；若函数为“型函数”，求的取值范围.【答案】(1)不是,是,理由见解析;(2);.【解析】【分析】(1)分别求出两个函数的定义域,判断即可.(2) 求出,再
16、求,通过导数探究当取何值时,取最小值,令最小值为1,即可求出的值.由题意恒成立,分别讨论当和时,通过探究 的单调性判断是否使得不等式恒成立,从而求出的取值范围.【详解】解:(1)对于函数,定义域为,显然不成立,所以不是“型函数”;对于函数,定义域为.当时,所以,即;当时,所以,即.所以,都有.所以函数是“型函数”.(2)因为所以.当时,所以在上为减函数;当时,所以在上为增函数.所以.所以,故.因为函数为“型函数”,所以(*).()当,即时,由得,即.所以在上为增函数,又,当时,所以;当时,所以.所以,适合(*)式.()当,即时,.所以由零点存在性定理得,使,又在上为增函数所以当时,所以在上为减
17、函数又,所以当时,所以,不适合(*)式.综上得,实数的取值范围为.【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了函数的最值,考查了不等式恒成立问题.本题的难点在于最后一问,学生往往想不起来通过函数的单调性等来判断函数在某一区间的正负问题.20.已知数列的首项为1，各项均为正数，其前项和为，,.（1）求,的值;（2）求证：数列为等差数列；（3）设数列满足，求证：.【答案】(1),;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)令 即可求出,的值;(2)由得两式相减进行整理可得,即可证明为等差数列.(3)由(2)可知,两式相减整理得,则当时,通过放缩即可证明; 当时,.从而可证.【详解】解:(1)令得,又,解得;令得,即,从而.(2)因为 ;所以 -得,.因为数列的各项均为正数,所以.从而.去分母得,化简并整理得,即,所以.所以数列等差数列.(3)由(2)知, .当时,又,所以.由知, .-得,即,依题意,所以.当时,当时,原不等式也成立.综上得,.【点睛】本题考查了由递推公式求项,考查了等差数列的定义,考查了放缩法,考查了数列求和.本题难点在于整理出,从而对所证式子进行化简.涉及到和 的递推公式时,一般代入公式 进行求解.