1、课时作业56曲线与方程一、选择题1设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为()A抛物线B双曲线C椭圆 D圆解析：设圆心C(x，y)，由题意得y1(y0)，化简得x28y8.答案：A2方程(2x3y5)(1)0表示的曲线的形状是()A两条直线 B两条射线C两条线段 D一条直线与一条射线解析：由方程可得或10，即2x3y50(x3)或x4.因此，曲线是一条直线与一条射线答案：D3已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()Ax22y1 Bx22yCx2y Dx22y2解析：把抛物线方程yx2化成标准形式x24y，可得焦点F(0,1)，设P
2、(x0，y0)，PF的中点M(x，y)由中点坐标公式得又P(x0，y0)在抛物线yx2上，2y1(2x)2，即x22y1.答案：A4已知两点M(2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|0，则动点P(x，y)的轨迹方程是()Ay28x By28xCy24x Dy24x解析：设P(x，y)，由题意得：(4,0)，(x2，y)，|4，|，故由|0可得：44(x2)0，整理得y28x.答案：B5抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线xy0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()Ay2x2 By22xCx22y Dy22x解析：设A(x1，y1)，
3、B(x2，y2)，抛物线方程为y22px，则两式相减可得2p(y1y2)kAB22，即可得p1，抛物线C的方程为y22x.答案：B6在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1)，B(1,3)，若点C满足|，则C点的轨迹方程是()Ax2y50 B2xy0C(x1)2(y2)25 D3x2y110解析：由|知，所以C点的轨迹是以两个端点A、B为直径的圆，圆心坐标为线段AB的中点(1,2)，半径等于，所以C点的轨迹方程是(x1)2(y2)25.答案：C二、填空题7已知线段AB的长度为3，端点A，B分别在x轴、y轴上移动，若2，则C点的轨迹方程为_解析：设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)
4、，则a2b29，又因为2，所以(xa，y)2(x，by)，即代入式整理可得x21.答案：x218已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x100，由动点P向O和O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是_解析：由切线长相等得|PO|22|PO|26，即|PO|2|PO|24设P(x，y)则(x4)2y2(x2y2)4解得x.答案：x9曲线C是平面内与两个定点F1(1，0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_解析：因为原点O到两个定点F
5、1(1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，而a1，所以曲线C不过原点，即错误；因为F1(1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1|PF2|a2对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|a2，即面积不大于a2，所以正确答案：三、解答题10设A、B为椭圆y21长轴的两端点，P为椭圆上一动点(不同于A、B)，作AQPA，PBBQ，求直线AQ与BQ的交点Q的轨迹方程解析：如图，设点Q(x，y)、P(x1，y1)，椭圆长轴两端点A(2,0)、B(2,0)，则y1y，即，kPBkPA.PAAQ、PBBQ，kPAkPB.于是，即kAQkB
6、Q4，4，即1.点P不与A、B重合，y0.故Q点的轨迹方程是1(y0)11设圆C与两圆(x)2y24，(x)2y24中的一个内切，另一个外切(1)求C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M(，)，F(，0)，且P为L上动点，求|MP|FP|的最大值及此时点P的坐标解析：(1)依题意得两圆的圆心分别为F1(，0)，F2(，0)，从而可得|CF1|2|CF2|2或|CF2|2|CF1|2，所以|CF2|CF1|42a|F1F2|22c，所以圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为4，焦距为2的双曲线，因此a2，c，b2c2a21，故C的圆心轨迹L的方程为y21.(2)过点M，F的直线l的方
7、程为y2(x)，将其代入y21中，解得：x1，x2，故直线l与L的交点为T1(，)，T2(，)，因为T1在线段MF外，T2在线段MF上，故|MT1|FT1|MF|2，|MT2|FT2|MF|2，若点P不在MF上，则|MP|FP|MF|2，综上所述，|MP|FP|只在点T1处取得最大值即|MP|FP|的最大值为2，此时点P的坐标为(，)12(2014湖北卷)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(2,1)求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围解析：(1)
8、设点M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即|x|1，化简整理得y22(|x|x)故点M的轨迹C的方程为y2(2)在点M的轨迹C中，记C1：y24x，C2：y0(x0)依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)由方程组可得ky24y4(2k1)0.当k0时，此时y1.把y1代入轨迹C的方程，得x.故此时直线l：y1与轨迹C恰好有一个公共点.当k0时，方程的判别式为16(2k2k1)设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0.()若由解得k1，或k.即当k(，1)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点()若或由解得k1，或k0.即当k1，时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点当k时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点故当k1，时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点()若由解得1k，或0k.即当k时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点综上可知，当k(，1)0时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k1，时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点