1、2020-2021学年吉林省长春实验中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1已知i是虚数单位，则（）A1B1CiDi2若向量（3，m），（2，1），则实数m的值为（）ABC2D63某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A频率分布直方图中a的值为0.004B估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D估计总体中成绩落在60，70）内的学生人数为1604设，是空间两个不重合的平面，l，m是空间两条不重合的直线，下列命题不正确的是（）A若l，l，则
2、B若l，m，则lmC若l，l，则D若l，则l5为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）Ax1，x2，xn的平均数Bx1，x2，xn的标准差Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn的中位数6如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC4，ACBC，CC15，D，E分别是AB，B1C1的中点，则异面直线BE与CD所成的角的余弦值为（）ABCD7随着高中新课程改革的不断深入，数学试题的命题形式正在发生着变化某省示范性高中在数学试卷中加入了多项选择题每道多项选择题给出的四个选项
3、中，有多项符合题目要求一同学解答一道多选题时，随机选了两个选项，若答案恰为两个选项，则该同学做对此题的概率为（）ABCD8唐狩猎纹高足银杯如图1，1963年出土于陕西省西安市沙坡村容藏，为唐代的酒具它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示已知半球的半径为R，酒杯内壁表面积为，设酒杯上部分圆柱的体积为V1，下部分半球的体积为V2，则（）A2BC1D9设锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2，B2A，则b的取值范围为（）A（0，4）B（2，2）C（2，2）D（2，4）10已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、
4、c，满足cos2Acos2B+cos2C1+sinAsinC，且sinA+sinC1，则ABC的形状为（）A等边三角形B等腰直角三角形C顶角为150的等腰三角形D顶角为120的等腰三角形11在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，若各保险匣之间互不影响，则当开关合上时，电路畅通的概率是（）ABCD12如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形ABCD内（包括边界）的一动点，E，F分别为棱AB，BC的中点，若直线D1P与平面EFC1无公共点，则线段D1P的长的范围是（）ABCD1，二、填空题13在ABC中，点D在直线AC上，且，点E在
5、直线BD上，且，若，则1+2 14三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC，AP3，BC6，则该三棱锥外接球的表面积为 15如图，二面角l为60，A，B，C，D，El，BCD45，AED30，l平面ABD，则直线AB与平面所成的角为 16已知ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且C，c2则下列结论正确的序号是 （1）ABC面积的最大值为；（2）的最大值为；（3）；（4）的取值范围三、解答题17已知向量与的夹角，且，（1）求及在上的投影向量；（2）求向量与夹角的余弦值18在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1求证：（1）AB平面A1B1C；（2）平面AB
6、B1A1平面A1BC19从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）80，85）85，90）90，95）95，100）频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在80，85）和95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在80，85）和95，100）中各有1个的概率20如图，在ABC中，点P在BC边上，PAC60，PC2，AP+AC4（）求边AC的长；（）若APB的面积是，求sinBAP的值21随着社会的进步、科技的发展，人
7、民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注因此，2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用市环卫局在A、B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如表：住户编号123456A小区（分钟）220180210220200230B小区（分钟）200190240230220210（1）分别计算A、B小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；（2）如果两个小区住户均按照1000户计算，小区
8、的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：A小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照3000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？B小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效率相当于4位普通居民对生活垃圾分类效率，每位专职工作人员（每天工作8小时）月工资按照4000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是
9、多少？市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？22如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点（）证明：EFBC；（）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值（）求二面角AA1CB的正弦值参考答案一、选择题（60分）1已知i是虚数单位，则（）A1B1CiDi【分析】利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果解：i，故选：D2若向量（3，m），（2，1），则实数m的值为（）ABC2D6【分析】利用0即可得出解：，6m0，解
10、得m6故选：D3某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A频率分布直方图中a的值为0.004B估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D估计总体中成绩落在60，70）内的学生人数为160【分析】对于A，由频率分布直方图的性质列方程能求出a；对于B，求出50，80）的频率为0.6，由此能估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80；对于C，70，80）对应的小矩形最高，由此能估计这20名学生数学考试成绩的众数；对于D，求出总体在60，70）的频率，由此
11、能估计总体中成绩落在60，70）内的学生人数解：对于A，由频率分布直方图的性质得：（2a+3a+7a+6a+2a）101，解得a0.005，故A错误；对于B，50，80）的频率为：10（2a+30+7a）10120.0050.6，估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B正确；对于C，估计这20名学生数学考试成绩的众数为：75，故C错误；对于D，估计总体中成绩落在60，70）内的学生人数为：30.005101000150，故D错误故选：B4设，是空间两个不重合的平面，l，m是空间两条不重合的直线，下列命题不正确的是（）A若l，l，则B若l，m，则lmC若l，l，则D若l，则l【分
12、析】A，由面面平行的判定定理判定；B，由直线与平面垂直的性质定理判定；C，由面面垂直的判定可判定；D，若l，则l或l；解：对于A，由面面平行的判定定理得A正确；对于B，由直线与平面垂直的性质定理得B正确；对于C，l，l，则在中一定存在直线与l平行，由面面垂直的判定可得，故C正确；对于D，若l，则l或l，故D正确；故选：D5为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）Ax1，x2，xn的平均数Bx1，x2，xn的标准差Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn的中位数【分析】利用
13、平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度故选：B6如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC4，ACBC，CC15，D，E分别是AB，B1C1的中点，则异面直线BE与CD所成的角的
14、余弦值为（）ABCD【分析】根据题意可分别以CA，CB，CC1三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可得出C，D，B，E的坐标，进而得出向量的坐标，从而可求出的值，进而得出异面直线BE与CD所成的角的余弦值解：可知CA，CB，CC1三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：C（0，0，0），B（0，4，0），A（4，0，0），D（2，2，0），E（0，2，5），异面直线BE与CD所成的角的余弦值为故选：C7随着高中新课程改革的不断深入，数学试题的命题形式正在发生着变化某省示范性高中在数学试卷中加入了多项选择题每道多项选择题给出的四个选项中，有多项符
15、合题目要求一同学解答一道多选题时，随机选了两个选项，若答案恰为两个选项，则该同学做对此题的概率为（）ABCD【分析】基本事件总数n6，答案恰为两个选项，由此能求出该同学做对此题的概率解：每道多项选择题给出的四个选项中，有多项符合题目要求一同学解答一道多选题时，随机选了两个选项，基本事件总数n6，答案恰为两个选项，则该同学做对此题的概率为：P故选：A8唐狩猎纹高足银杯如图1，1963年出土于陕西省西安市沙坡村容藏，为唐代的酒具它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示已知半球的半径为R，酒杯内壁表面积为，设酒杯上部分圆柱的体积为V1，下部分半球的体
16、积为V2，则（）A2BC1D【分析】设圆柱的高为h，根据题意可求得h，再分别表示出V1，V2即可得解解：设酒杯上部分（圆柱）的高为h，则酒杯内壁表面积为SR2，解得h，V，V2，故选：A9设锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2，B2A，则b的取值范围为（）A（0，4）B（2，2）C（2，2）D（2，4）【分析】由锐角ABC，可得A（，），再结合正弦定理和二倍角公式，推出b4cosA，从而得解解：因为锐角ABC，且B2A，解得A（，），所以cosA（，），由正弦定理知，b2acosA4cosA（2，2）故选：C10已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c
17、，满足cos2Acos2B+cos2C1+sinAsinC，且sinA+sinC1，则ABC的形状为（）A等边三角形B等腰直角三角形C顶角为150的等腰三角形D顶角为120的等腰三角形【分析】利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a，b和c关系式，代入余弦定理中求得cosA的值，进而求得A，由sin2Bsin2A+sin2C+sinAsinC，与sinA+sinC1联立求得sinA和sinC的值，进而根据A，C的范围推断出AC，即可判断得解解：cos2Acos2B+cos2C1+sinAsinC，（1sin2A）（1sin2B）+（1sin2C）1+sinAsinC，可得sin2A+
18、sin2Csin2BsinAsinC，根据正弦定理得a2+c2b2ac，由余弦定理得cosB，B（0，180），B120，sin2Bsin2A+sin2C+sinAsinC变形得（sinA+sinC）2sinAsinC，又sinA+sinC1，得sinAsinC，上述两式联立得sinAsinC，0A60，0C60，AC30，ABC是顶角为120的等腰三角形故选：D11在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，若各保险匣之间互不影响，则当开关合上时，电路畅通的概率是（）ABCD【分析】前两个盒子为串联线路，求出它们不畅通的概率，利用对立事件的概率求出前3个
19、畅通的概率，后2个盒子为并联线路，求出它们不畅通的概率，前3个盒子和后2个盒子又是串联线路，利用独立事件同时发生的概率公式，即可求电路畅通的概率解：前两个盒子畅通的畅通的概率为，所以不畅通的概率为1则前三个盒子畅通的概率为1 后两个盒子畅通的概率为1所以当开关合上时，电路畅通的概率是，故选：D12如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形ABCD内（包括边界）的一动点，E，F分别为棱AB，BC的中点，若直线D1P与平面EFC1无公共点，则线段D1P的长的范围是（）ABCD1，【分析】取AD的中点为G，取CD的中点为H，连接D1G，D1H，GH，证明平面D1GH平面C1EF，
20、结合直线D1P与平面EFC1无公共点，可得点P在线段GH上，由此求得线段D1P的长的范围解：如图，取AD的中点为G，取CD的中点为H，连接D1G，D1H，GH，AC，由三角形中位线的性质可得，EFAC，GHAC，则GHEF，EF平面C1EF，GH平面C1EF，可得GH平面C1EF，连接GF，可得GFD1C1且GFD1C1，则四边形GFC1D1为平行四边形，可得GD1C1F，C1F平面C1EF，D1G平面C1EF，D1G平面C1EF，又D1GGHG，D1G，GH平面D1GH，平面D1GH平面C1EF，直线D1P与平面EFC1无公共点，点P在线段GH上，当P为GH的中点时，D1P取得最小值为当P与
21、G或H重合时，D1P取最大值为线段D1P的长的范围是故选：B二、填空题13在ABC中，点D在直线AC上，且，点E在直线BD上，且，若，则1+2【分析】根据三角形法则可得+2+2，从而（3），结合即可用与表示出，进一步即可得出1+2的值解：由2，得+2+2，故（3），所以2+，故1，21，所以1+2故答案为：14三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC，AP3，BC6，则该三棱锥外接球的表面积为 45【分析】由题意可知，AB、AC、AP两两互相垂直，把三棱锥PABC变形为长方体，则长方体的外接球即三棱锥PABC的外接球，求出长方体的对角线长，可得外接球的半径，代入球的表面积公式得答案解：如图，P
22、A平面ABC，BAC，AB、AC、AP两两互相垂直，把三棱锥PABC变形为长方体，则长方体的外接球即三棱锥PABC的外接球，长方体的对角线长为，三棱锥外接球的表面积为445故答案为：4515如图，二面角l为60，A，B，C，D，El，BCD45，AED30，l平面ABD，则直线AB与平面所成的角为 90【分析】由二面角的平面角的定义得到BDA即为二面角l的平面角，由线面角的定义可得ABD为直线AB与平面所成的角，在ABD中，利用余弦定理求解即可解：因为l平面ABD，又AD，BD平面ABD，则lBD，lAD，故BDA即为二面角l的平面角，所以ADB60，因为l平面ABD，l，则平面平面ABD，故
23、AB在平面上的射影为BD，所以ABD为直线AB与平面所成的角，设BC1，则，又BCD45，AED30，所以，在ABD中，则，故ABD90，所以直线AB与平面所成的角为90故答案为：9016已知ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且C，c2则下列结论正确的序号是 （1）（2）（1）ABC面积的最大值为；（2）的最大值为；（3）；（4）的取值范围【分析】由余弦定理结合基本不不等式求得ab的最大值，即可得出面积的最大值，进而可判断（1）是否正确；由正弦定理结合二倍角公式，两角和与差的正弦公式，正弦函数性质求得bcosA的最大值，从而可得数量积的最大值，即可判断（2）是否正确；利用余弦定
24、理变形判断（3）是否正确；根据A，B关系，结合两角差的余弦公式，正切函数性质求解判断（4）是否正确解：对于（1）：由余弦定理可得22a2+b22abcosa2+b2ab2ababab，当且仅当ab时，等号成立，SABCabsinC4sin，最大值为，故（1）正确；对于（2）：bccosA2bcosA，在ABC中，bsin（A），bcosAsin（A）cosA（cosA+sinA）cosA（cos2A+sinAcosA）（1+cos2A）+sin2Asin（2A+）+1，因为C，所以0A，所以2A+，所以A时，sin（2A+）取得最大值1，即bcosA的最大值为+1，所以的最大值为2+，故（2）
25、正确；对于（3）：由余弦定理bcosA+acosBb+ac2，故（3）错误；对于（4）：BA，+tanA，A（0，），A时，此式无意义，A（0，），tanA0，A（，）时，tanA，2，故（4）错误故答案为：（1）（2）三、解答题17已知向量与的夹角，且，（1）求及在上的投影向量；（2）求向量与夹角的余弦值【分析】（1）先由平面向量数量积的定义求出的值，再根据平面向量的几何意义，即可得解；（2）先求得（）的值，再由|，求出|的值，最后由cos，得解解：（1），在上的投影向量为（2），|，设向量与夹角为，则18在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1求证：（1）AB平面
26、A1B1C；（2）平面ABB1A1平面A1BC【分析】（1）由 AB平面A1B1C；（2）可得四边形ABB1A1是菱形，AB1A1B，由AB1B1C1AB1BCAB1面A1BC，平面ABB1A1平面A1BC【解答】证明：（1）平行六面体ABCDA1B1C1D1中，平行六面体可得每个面均为平行四边形，所以ABA1B1， ABA1B1，AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1CAB平面A1B1C；（2）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，四边形ABB1A1是菱形，AB1A1B在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，B1C1CB，AB1B1C1AB1BCAB1面A1BC，且AB1平面
27、ABB1A1平面ABB1A1平面A1BC19从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）80，85）85，90）90，95）95，100）频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在80，85）和95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在80，85）和95，100）中各有1个的概率【分析】（1）用苹果的重量在90，95）的频数除以样本容量，即为所求（2）根据重量在80，85）的频数所占的比例，求得重量在80，85）的苹果
28、的个数（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率解：（1）苹果的重量在90，95）的频率为（2）重量在80，85）的有个（3）设这4个苹果中，重量在80，85）段的有1个，编号为1 重量在95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种设任取2个，重量在80，85）和95，100）中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以20如图，在ABC中，点P在BC边上，PAC60，PC2，AP+AC4（）求边AC的长；（）若AP
29、B的面积是，求sinBAP的值【分析】（）利用三角形的边角关系式，利用余弦定理求出结果（）利用三角形的面积公式和正弦定理求出结果解：（）在ABC中，点P在BC边上，PAC60，PC2，AP+AC4则：设ACx，利用余弦定理得：PC2AP2+AC22APACcosPAC，则：，整理得：3x212x+120，解得：x2故：AC2（）由于AC2，AP+AC4，所以：AP2，所以APC为等边三角形由于：APB的面积是，则：，解得：BP4在APB中，利用余弦定理：AB2BP2+AP22BPAPcosBPA，解得：AB2，在APB中，利用正弦定理得：，所以：，解得：21随着社会的进步、科技的发展，人民对自
30、己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注因此，2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用市环卫局在A、B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如表：住户编号123456A小区（分钟）220180210220200230B小区（分钟）200190240230220210（1）分别计算A、B小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；（2）如果两个小区住户均按照1000户计算，小区的垃圾
31、也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：A小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照3000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？B小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效率相当于4位普通居民对生活垃圾分类效率，每位专职工作人员（每天工作8小时）月工资按照4000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
32、市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？【分析】（1）根据已知数据，利用平均数和方差公式即可求解；（2）由题意可得A小区至少需要5名工作人员，乘以每位的月工资，再除以1000即可求得每位用户需要承担的生活垃圾分类费；先求出B小区一个月用于生活垃圾分类所用的平均时间，从而可得B小区一个月需要专职工作人员数，乘以每位的月工资，再除以1000即可求得每位用户需要承担的生活垃圾分类费；根据中的条件和结论，分析可得结论解：（1）（分钟），（分钟），；（2）按照A方案，A小区一月至少需要5名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是53000
33、15000元，每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），由（1）知，B小区平均每位住户每周需要215分钟进行垃圾分类，一月需要2154860（分钟），B小区一月平均需要8601000860000分钟的时间用于生活垃圾分类，一位专职工人一天的工作时间按照8小时作为计算标准，每月按照28天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于4名普通居民对生活垃圾分类的效果，B小区一月需要专职工作人员至少（名），则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），根据上述计算可知，按照每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费来说，选择A方案惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；如果对于高档小
34、区的居民来说，可以选择B方案，这只是方便个别高收入住户，综上，选择A方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升22如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点（）证明：EFBC；（）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值（）求二面角AA1CB的正弦值【分析】（）连接A1E，证明A1EAC，推出A1E平面ABC，以E为原点，在平面ABC中，过E作AC的垂线为x轴，EC，EA1所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，通过求解0，推出EFBC（）求出平面A1BC的法向量，利用空间向量的数量积求解直线EF与
35、平面A1BC所成角的余弦值即可（）求出平面AA1C的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角的正弦函数值即可【解答】（）证明：连接A1E，A1AA1C，E是AC的中点，A1EAC，又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，A1E平面ABC，如图，以E为原点，在平面ABC中，过E作AC的垂线为x轴，EC，EA1所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，设AC4，则A1（0，0，2），B（），B1（），F（），A（0，2，0），C（0，2，0），（），（），由0，得EFBC（）解：设直线EF与平面A1BC所成角为，由（）得（），（0，2，2），设平面A1BC的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，），sin，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为（）解：由（）可知：平面AA1C的一个法向量是（1，0，0），由图可知该二面角为锐二面角，设该二面角的平面角为，cos，cos