1、专题强化练8数列通项公式的求法一、选择题1.(2020河北唐山一中高一月考,)已知数列an中,a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,则a2 020=()A.6B.-6C.3D.-32.()已知数列an满足a1=2,an+1=an2,则数列an的通项公式为an=()A.2n-1B.2n-1C.22n-1D.n23.(2020河北石家庄二中高二月考,)在数列an中,a1=0,an+1=an+ln1+1n,则an的通项公式为()A.an=ln nB.an=(n-1)ln(n+1)C.an=nln nD.an=ln n+n-24.(2021江苏无锡江阴第一中学高二期中,)定义:在数列an中,若
2、满足an+2an+1-an+1an=d(nN*,d为常数),则称an为“等差比数列”,已知在等差比数列an中,a1=a2=1,a3=3,则a2 020a2 018等于()A.42 0162-1B.42 0172-1C.42 0182-1D.42 01825.(2021广东汕头金山中学等四校高三联考,)已知数列an的前n项和为Sn,对任意的nN*,有Sn=23an-23成立,且1Sk12,则k的值为()A.2或4B.2C.3或4D.66.(2021江苏扬州中学高二期中,)已知F(x)=f x+12-3是R上的奇函数,an=f(0)+f 1n+f n-1n+f(1),nN*,则数列an的通项公式为
3、()A.an=n+1B.an=3n+1C.an=3n+3D.an=n2-2n+3二、填空题7.(2021陕西榆林第一中学高二月考,)数列an中,a1=1,an+1=3an+2,则an=.8.()数列-23,415,-635,863,-1099,的一个通项公式为.9.(2021湖南长沙长郡中学高三月考,)已知数列an的前n项和Sn=(n+1)an2,且a1=1,则数列an的通项公式为.三、解答题10.()(1)已知数列an中,an+1=2n+1an2n+1+an,a1=2,求an的通项公式;(2)已知数列an满足an+1=3an+23n+1,a1=3,求数列an的通项公式.11.(2020福建厦
4、门外国语学校高二期末,)已知数列an满足a1=1,a2=12,an+an+1=2an+2.(1)求证:an+1-an为等比数列;(2)求an的通项公式.专题强化练8数列通项公式的求法一、选择题1.D因为an+2=an+1-an,所以an+3=an+2-an+1,+,并化简得an+3=-an,即an+6=-an+3,则an+6=an,即数列an是周期为6的周期数列,又a1=3,a2=6,所以a3=3,a4=-3,a5=-6,a6=-3,则a2 020=a6336+4=a4=-3,故选D.2.C在an+1=an2的两边同时取常用对数,得lg an+1=2lg an,易知an1,故lg an+1lg
5、 an=2,所以数列lg an是以lg 2为首项,2为公比的等比数列,所以lg an=2n-1lg 2=lg 22n-1,所以an=22n-1,故选C.3.A因为an+1-an=lnn+1n=ln(n+1)-ln n,所以an-an-1=ln n-ln(n-1)(n2),an-1-an-2=ln(n-1)-ln(n-2)(n3),a3-a2=ln 3-ln 2,a2-a1=ln 2-ln 1,将以上(n-1)个式子相加,整理得an-a1=ln n-ln 1=ln n,又因为a1=0,所以an=ln n.故选A.4.C由题意可得a3a2=3,a2a1=1,a3a2-a2a1=2,根据“等差比数列
6、”的定义可知数列an+1an是首项为1,公差为2的等差数列,则an+1an=1+(n-1)2=2n-1,所以a2 020a2 019=22 019-1=22 018+1,a2 019a2 018=22 018-1,所以a2 020a2 018=a2 020a2 019a2 019a2 018=(22 018+1)(22 018-1)=42 0182-1.故选C.5.A由对任意的nN*,有Sn=23an-23成立,可得a1=S1=23a1-23,解得a1=-2,当n2时,Sn-1=23an-1-23,故an=Sn-Sn-1=23an-23an-1,即an=-2an-1,所以an是首项为-2,公比
7、为-2的等比数列,所以an=(-2)n,Sn=-21-(-2)n1-(-2)=-231-(-2)n,所以1Sk=-231-(-2)k12,所以52(-2)k19,易得当k=2和k=4时不等式成立,所以k的值为2或4,故选A.6.C由F(x)=fx+12-3是R上的奇函数,知F(-x)=-F(x),代入得f12-x+f12+x=6(xR),所以函数f(x)的图象关于点12,3对称,令t=12-x,则12+x=1-t,则f(t)+f(1-t)=6,因为an=f(0)+f1n+fn-1n+f(1),an=f(1)+fn-1n+f1n+f(0),所以+得2an=6(n+1),即an=3n+3,故选C.
8、二、填空题7.答案23n-1-1解析因为an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),又a1+1=2,所以数列an+1是首项为2,公比为3的等比数列,所以an+1=23n-1,所以an=23n-1-1.8.答案an=(-1)n2n(2n-1)(2n+1)解析因为数列中的各项是一负一正交替出现的,所以通项公式中需含有(-1)n,因为-23=-2113,415=2235,-635=-2357,所以此数列的一个通项公式为an=(-1)n2n(2n-1)(2n+1).9.答案an=n解析由Sn=(n+1)an2,可得当n2时,an=Sn-Sn-1=(n+1)an2-nan-12,整理可得(n
9、-1)an-nan-1=0,即ann=an-1n-1,所以ann为常数列,故ann=a11=1,所以an=n.三、解答题10.解析(1)由an+1=2n+1an2n+1+an得1an+1=2n+1+an2n+1an,即1an+1=1an+12n+1.设bn=1an,则bn+1=bn+12n+1,bn=bn-1+12n(n2),bn-bn-1=12n(n2),bn-1-bn-2=12n-1,bn-2-bn-3=12n-2,b3-b2=123,b2-b1=122,bn=12n+12n-1+122+12=2n-12n,an=2n2n-1.(2)将an+1=3an+23n+1的两边同时除以3n+1,得
10、an+13n+1=an3n+23+13n+1,则an+13n+1-an3n=23+13n+1,故an3n=an3n-an-13n-1+an-13n-1-an-23n-2+an-23n-2-an-33n-3+a232-a131+a13=23+13n+23+13n-1+23+13n-2+23+132+33=2(n-1)3+13n+13n-1+13n-2+132+1=2(n-1)3+13n(1-3n-1)1-3+1=2n3+12-123n,则an=2n33n+123n-12=2n3+123n-12.11.解析(1)证明:由an+an+1=2an+2,得2(an+2-an+1)=-(an+1-an),即an+2-an+1=-12(an+1-an),又a2-a1=-120,an+2-an+1an+1-an=-12,an+1-an是以-12为首项,-12为公比的等比数列.(2)由(1)知an+1-an=-12-12n-1=-12n,当n2时,an-an-1=-12n-1,an-1-an-2=-12n-2,a2-a1=-12,以上各式累加,得an-a1=-12+-122+-12n-2+-12n-1=-12-12n1-12=-13-23-12n(n2),a1=1,an=1-13-23-12n=23-23-12n(n2),又a1=1也符合此式,an=23-23-12n.